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Bonsoir, encore moi ^^
C'est de plus en plus compliqué, désolé de vous demandez mais ça fait 3jours que je me creuse la tête mais je vois pas :o surtout que j'ai pas encore de "cours" de spé maths... on a juste défini ce que c'était une conjecture UFP et une équation diophantienne et c'est tout ^^"

Du coup je dois montrer que :
[tex]15| ? 2^{45}+5^{45}+10^{45}+13^{45}[/tex]

J'ai put faire que ça malheureusement :
[tex]2^{45}+5^{45}+10^{45}+13^{45} \\ 2^{45}+5^{45}+(2.5)^{45}+13^{45} \\ 2^{45}+5^{45}+2^{45}.5^{45}+13^{45}[/tex]

J'ai essayé de factorisé par [tex]2^{45}\\5^{45}\\ 2^{45}+5^{45}[/tex]
Mais rien de bien concret qu'y puisse m'aider :/

Encore merci !

Sagot :

Laurance
je  pense que  ça vient d'une règle  plus  générale  :
considérons   un   polynôme   
[tex]P(x) = x^{n} + a^{n} [/tex]   où   a est  un entier   positif  quelconque et  où  n est  un entier  impair  quelconque
il  est évident  que  P(x)   possède au moins  une racine :  -a   puisque  
[tex]P(-a) = (-a)^{n} + a^{n} = - a^{n} + a^{n} = 0 [/tex]
le fait que n soit impair est capital !
on peut donc écrire  P(x)=(x+a)Q(x)   où  Q(x)   est  un polynôme de degré  n-1
considérons  ici 

[tex]P1(x)= x^{45} + 10^{45} [/tex]

[tex]P2(x) = x^{45} + 13^{45} [/tex]

comme   45  est  impair     
P1(x) = (x +10) * Q1(x)      P2(x) = (x +13) * Q2(x) 
or l'expression

[tex]A = 2^{45} + 5^{45} + 10^{45} + 13^{45} [/tex]

peut  s'écrire    A = P1(5)   +  P2(2)  =  (5+10)Q1(5)   +  (2+13)Q2(2)
A=15 (  Q1(5)   +  Q2(2)  )  ceci prouve que  A  est divisible  par 15
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