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Sagot :
On cherche les racines de x²-5x+10 :
Δ=5²-4*1*10=25-40<0 donc pas de solutions
x²-5x+10>0 donc Ix²-5x+10I=x²-5x+10
On cherche les racines de x²-9x+14 :
Δ=81²-4*1*14=81-56=25
√Δ=5
Les racines sont (9+5)/2=7 et (9-5)/2=2
Donc x²-9x+14=(x-7)(x-2)
Sur [2;7] (x-7)(x-2)≤0 donc Ix²-9x+14I=-x²+9x-14
Sur ]-∞;2]U[7;+∞[, (x-7)(x-2)≥0 donc Ix²-9x+14I=x²-9x+14
Donc sur ]-∞;2]U[7;+∞[ on a l'inéquation :
x²-5x+10>x²-9x+14
soit -5x+9x>14-10
4x>4
x>1
Donc les solutions sont ]1;2]U[7;+∞[
Sur [2;7] on a l'inéquation :
x²-5x+10>-x²+9x-14
2x²-14x+24>0
Δ=14²-4*2*24=196-192=4
√Δ=2
Les racines sont (14+2)/4=4 et (14-2)/4=3
Donc 2x²-14x+24=2(x-4)(x-3) qui est positif sur ]-∞;3[U]4;+∞[
donc sur [2;7]; x²-5x+10>-x²+9x-14 si x ∈ [2;3[U]4;7]
Donc les solutions de l'inéquation sur IR sont ]1;3[U]4;+∞[
Δ=5²-4*1*10=25-40<0 donc pas de solutions
x²-5x+10>0 donc Ix²-5x+10I=x²-5x+10
On cherche les racines de x²-9x+14 :
Δ=81²-4*1*14=81-56=25
√Δ=5
Les racines sont (9+5)/2=7 et (9-5)/2=2
Donc x²-9x+14=(x-7)(x-2)
Sur [2;7] (x-7)(x-2)≤0 donc Ix²-9x+14I=-x²+9x-14
Sur ]-∞;2]U[7;+∞[, (x-7)(x-2)≥0 donc Ix²-9x+14I=x²-9x+14
Donc sur ]-∞;2]U[7;+∞[ on a l'inéquation :
x²-5x+10>x²-9x+14
soit -5x+9x>14-10
4x>4
x>1
Donc les solutions sont ]1;2]U[7;+∞[
Sur [2;7] on a l'inéquation :
x²-5x+10>-x²+9x-14
2x²-14x+24>0
Δ=14²-4*2*24=196-192=4
√Δ=2
Les racines sont (14+2)/4=4 et (14-2)/4=3
Donc 2x²-14x+24=2(x-4)(x-3) qui est positif sur ]-∞;3[U]4;+∞[
donc sur [2;7]; x²-5x+10>-x²+9x-14 si x ∈ [2;3[U]4;7]
Donc les solutions de l'inéquation sur IR sont ]1;3[U]4;+∞[
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