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Signe de la fonction dérivée
Soit la fonction f définie sur [1;10] par:
f(x)= x^3 - 6x^2 +12x+9/x^3

1)Ecrire f(x) sous la forme d'une somme.
Montrer que tout réel x de [1;10],on a:
f'(x)= x^3-12x-18/x^3


2)Soit la fonction g définie sur [1;10] par:
g(x)=x^3-12x-18

a)Etudier les variations de g sur [1;10]
b)Montrer que l'équation g(x)=0 admet une unique solution a sur [1;10]
Déterminer un encadrement de a à 0,01) près.
c)En déduire le tableau de signes de g(x)

3)Déduire de ce qui précède les variations de f sur l'intervalle [1;10].Donner la valeur arrondie de a,à 0,01 prés, qui optimise la fonction f.

Sagot :

1) f(x)=x-6+12/x+9/x²
f'(x)=1-12/x²-18/x³
         =x³/x³-12x/x³-18/x³
         =(x³-12x-18)/x³

2) g(x)=x³-12x-18
g'(x)=3x²-12=3(x-2)(x+2)
g' s'annule en x=2 et x=-2
g' est négative si -2<x<2
g est croissante sur ]-∞;-2] et sur [2;+∞[
et g est décroissante sur [-2;2]

sur [1;2] g(1)<0 et g(2)<0 donc g ne s'annule
sur [2;10] g est continue et croissante
g(2)<0 et g(10)>0
d'après le th des valeurs intermédiaires, l'équation g(x)=0 possède une solution unique α∈[2;10]
on obtient α≈4,055

ainsi g est négative si x<α et g est positive si x>α

3) f'(x)=g(x)/x³
sur [1;10] f' a le même signe que g
donc f est décroissante sur [1;α] et croissante sur [α;+∞[
ainsi f admet un minimum en x=α
le minimum vaut f(α)≈1,562
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