etudier c'est ( en principe) donner le sens de variations et la limite éventuels
les suites sont du type
un+1=f(un)
1)f(x)= ( 5+4x) /( 3+x) on calculer f '(x)= 7/ ( 3+x)² positif donc f est croissante
or f(4) = u1 = 21/7=3 ce qui montre que u1 < u 0
la suite sera donc décroissante ( par récurrence) car si
un+1 < un
f(un+1) < f(un) et un+2 < un+1
d'autre part il est évident que un est positif
on a une suite décroissante et minorée qui converge d'après un theoreme
sa limite x vérifie l'équation
f(x)=x
5 +4x = 3x + x²
x² - x - 5 = 0 qui a deux solutions ( 1 + rac(21)/2 et ( 1-rac(21) )/2
la limite ne peut pas être négative c'est donc
( 1 -rac(21)) /2
2) ici la fonction f(x)= 1 /(1+x²) mais elle est décroissante ; on ne peut pas raisonner de la même façon
si on calcule v1 = 3 v2 = 0,3 v3 = 2,75 environ on peut affirmer que la suite est ni croissante ni décroissante et si on regarde plus de termes ; il n'y a pas de limite : par contre on constate que tous les termes d'indice pairs se rapprochent de
2,62 et ceux d'indice impair se rapprochent de 0,38
