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Doudoubleu2018
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10 POINTS et 5 DE PLUS POUR LA MEILLEURE REPONSE
Bonjour, voilà une partie de mon devoir de maths spé (terminale) que je n'arrive pas à faire.
Dans une zone de marais, on s'intéresse à la population des libellules.
On note P0 (0 en indice) la population initiale et Pn la population au bout de n années.
Des études ont permis de modéliser l'évolution de Pn par la relation suivante:
Pour tout entier naturel n, on a: Pn+2 = (3/2)*Pn+1 - 1/2*Pn
On suppose que P0= 40 000 et P1= 60 000.
1) Calculer P2 et P3
2) On considère pour tout entier naturel n la matrice colonne Vn définie ci-dessous:
Vn= [tex] \left[\begin{array}{ccc}Pn\\Pn+1\end{array}\right] [/tex]
a) Montrer que, pour tout entier naturel n: Vn= A*Vn où A est une matrice carrée d'ordre 2 à préciser.
b) Soient P et D les matrices: P= [tex] \left[\begin{array}{ccc}1&2\\1&1\\\end{array}\right] [/tex]
D=[tex] \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0 &1/2\\\end{array}\right] [/tex]
Déterminer l'inverse de P à la calculatrice et vérifier à la main que A=P*D*l'inverse de P
c) En admettant que les puissances de la matrice D se déterminent e, calculant les puissances des éléments de la diagonale principale, déterminer l'expression de An (n comme exposant) en fonction de n
d) On admet que le résultat de la question a permis d'affirmer que, pour tout entier naturel n,
Vn= An (n comme exposant) * V0 (0 comme indice)
Déterminer alors l'expression de Pn e fonction de n.

Sagot :

Laurance
Pour tout entier naturel n, on a: Pn+2 = (3/2)*Pn+1 - 1/2*Pn
On suppose que P0= 40 000 et P1= 60 000.
1) P2 = (3/2)*P1 - 1/2*P0  = 90000 -20000 = 70000
  et P3 = = (3/2)*P2 - 1/2*P1  = 105000 -30000 = 75000
2) 
a)               Pn+1
Vn+1 =  [   Pn+2  ] 

          a             b
A = [   c            d  ] 

Pn+1 = a Pn  +  b Pn+1    donc   a = 0     b= 1
Pn+2  = cPn + dPn+1  = (3/2)*Pn+1 - 1/2*Pn       d=  3/2  et  c = -1/2
          0           1
A = [  -1/2      3/2  ]

                                                  -1       2
b)l'inverse de P est     P^-1  = [    1     -1 ]
               1            1                                              0                 1
P * D = [  1          1/2    ]    et   P * D *P^-1  =  [   -1/2            3/2  ]  =  A


 c) A² =  P * D *P^-1  * P * D *P^-1   = P * D  * D *P^-1  = P * D² *P^-1 
de même   A^n  =  P * D^n  *P^-1 
                    1           0
or  D^n  = [  0          1/2^n  ] 

                     1            2/2^n
P * D^n  = [   1           1/2^n ]

                                         2/2^n  - 1            2 -   2/2^n
et    P * D^n  *P^-1    =  [  1/2^n   -1            2   - 1/2^n  ]   = A^n

d) si  Vn= An (n comme exposant) * V0 (0 comme indice)
 alors   Pn  =  ( 2/2^n    - 1) *40 000 + ( 2   -2/2^n) *60000
                 =   2/2^n( - 20000)  +  120000 -40000 
              Pn    = -40000/2^n  + 80 000
vérifications
n=0    on trouve P0 = 40000  
  n=1  P1 = 60000 
  n=2  P2 = 70000
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