Bonjour Elisabeth28
Exercice 1
1) Nous savons que pour tout réel x, [tex]-1\le\cos x\le1[/tex]
Nous pouvons diviser les 3 membres de ces inégalités par x²+1 car x²+1 > 0 quel que soit x.
Donc,
[tex]\dfrac{-1}{x^2+1}\le\dfrac{\cos x}{x^2+1}\le\dfrac{1}{x^2+1}[/tex]
Par conséquent, pour tout réel x,
[tex]\boxed{\dfrac{-1}{x^2+1}\le g(x)\le\dfrac{1}{x^2+1}}[/tex]
[tex]2)\ \dfrac{-1}{x^2+1}\le g(x)\le\dfrac{1}{x^2+1}\\\\\Longrightarrow\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{-1}{x^2+1}\le \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\le\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2+1}[/tex]
[tex]\Longrightarrow0\le \lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\le0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)=0}[/tex]
Exercice 2
[tex]1)\ Si\ x\in\ [0;\pi],\ alors\ \sin x\ge0\\\\Si\ x\in\ [\pi;2\pi],\ alors\ \sin x\le0[/tex]
[tex]2)\ \lim\limits_{x\to\pi,\ x\ \textless \ \pi}\ \ \dfrac{1}{\sin x}=[\dfrac{1}{0^+}][/tex]
[tex]\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to\pi,\ x\ \textless \ \pi}\ \ \dfrac{1}{\sin x}=+\infty}[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to\pi,\ x\ \textgreater \ \pi}\ \ \dfrac{1}{\sin x}=[\dfrac{1}{0^-}]
[/tex]
[tex]\Longrightarrow \boxed{\lim\limits_{x\to\pi,\ x\ \textgreater \ \pi}\ \ \dfrac{1}{\sin x}=-\infty}[/tex]
