Exercice 1
* signifie multiplié par
a) A(x) = (2x-3)(x-2)
A(x) = 2x*x+2x*-2 -3*x+(-3)*-2
A(x) = 2x²-4x-3x+6
A(x) = 2x²-7x+6
b)
B(x) = (x-1)²-2(x+3)
B(x) = x²-2x+1 -2x -2*3
B(x) = x²-2x-2x+1-6
B(x) = x²-4x-5
Exercice 2
a) 2(x-4)-5(x-2) = 0
2x-2*4 -5x-5*-2 = 0
2x-5x -8+10 =0
-3x+2 = 0
-3x = -2
x = -2/-3
x = 2/3
b) -x-1 = 4(x-2)
-x-1 = 4x-8
-x-1-4x = -8
-5x = -8-1
-5x = -9
x = -9/-5
x = 9/5
Exercice 3
a) A(x) = 3x²-x
Le facteur commun est x donc
A(x) = x(3x-1)
b) B(x) = (x-1)² + (3+2x)(x-1)
B(x) = (x-1)(x-1) + (3+2x)(x-1)
Le facteur commun est x-2 donc :
B(x) = (x-1)(x-1 + 3+2x)
B(x) = (x-1)(3x+2)
Exercice de géométrie
1)a) Le point M appartient à la droite (AB) et le quadrilatère AMPN est un rectangle donc (MP) est perpendiculaire à (AB) donc le triangle MBP est rectangle en M.
L'angle PMB = 90° et l'angle MBP = 45 ° or la somme des angles d'un triangle = 180° d'où
angle PMB + angle MBP + angle BPM = 180
90 + 45 + angle BPM = 180
angle BPM = 180 - 90 - 45
angle BPM = 45°
or un triangle dont 2 angles sont égaux est un triangle isocèle.
Conclusion
Le triangle MBP est un triangle rectangle isocèle en M.
On sait que :
AB = AM + MB
Or MB=MP (puisque le triangle est isocèle en M)
donc
AB = AM + MP
d'où
MP = AB - AM
MP = 4 - AM
b) Tableau
AM = 1 ; MP = 4-1 = 3
AM = 2 ; MP = 4-2 = 2
AM = 3 ; MP = 4-3 = 1
AM = 4 ; MP = 4-4 = 0
2) Aire de AMPN (noté Aamnp) est la longueur * largeur donc
Aamnp = AM * MP
or MP = 4 - AM
Aamnp = AM (4 - AM)
Aamnp = 4AM - AM²
3) a) la variable est AM.
Une distance n'étant jamais négative, la plus petite valeur possible de AM est 0.
M est un point du segment [AB] qui a pour longueur 4 cm donc la plus grande valeur possible pour AM est 4.
L'ensemble de définition de la fonction f est [0;4]
b) on pose AM = x cm
l'expression algébrique de f est :
f(x) = 4x-x²
4) a) La question revient à résoudre l'équation :
4x-x² = 3
-x²+4x-3 = 0
Calcul du discriminant Delta
Delta = b²-4ac = 16-4*-1-3 = 16-12 = 4
Delta >0 donc 2 solutions
x1 =(-b-VDelta)/2a = (-4-V4)/-2 = (-4-2)/-2 = -6/-2 = 3
x2 =(-b+VDelta)/2a = (-4+V4)/-2 = (-4+2)/-2 = -2/-2 = 1
Pour que l'aire de AMPN soit égale à 3 cm², il faut placer M à 1 cm ou à 3 cm de A.
b) Je ne sais pas faire avec une calculatrice. Mais voici le principe :
La question revient à résoudre l'équation :
4x-x² = 2
-x²+4x-2 = 0
2 solutions x1 = 3,4 et x2 = 0,6 donc
Pour l'aire de AMPN soit égale à 2cm², il faut place M à 0,6 cm ou 3,4 cm de A (arrondie à 0,1 près).
