👤
Answered

FRstudy.me facilite l'obtention de réponses fiables à vos questions. Rejoignez notre plateforme de questions-réponses pour obtenir des réponses précises et complètes à toutes vos questions pressantes.

Bonjour svp aidez moi pour cet exercice et merci d'avance :
Soient a et b deux nombres réels strictement positifs

Montrez que :


a+b/(1+a+b)<a/(1+a)+b/(1+b)

Sagot :

Laurance
(a+b)/(a+b+1) =  (a+b+1-1) /(a+b+1) = 1   -   1/(a+b+1) 

de même

a/(1+a) =  (a+1-1)/1+a =   1 -   1/(1+a) 

b/(1+b)   =  1 -  1 /(1+b) 

calculons
1 - 1 /(a+b+1)  - 1 + 1/(1+a)  - 1 + 1/(1+b) 

=  - 1    -  1/(a+b+1)   +  1/(1+a)  +  1/(1+b) 

= ( -1 +   1 /(a+1) )    +  ( 1/(1+b)   -  1/(a+b+1)  )
=(  - (a+1) +1   )   / (a+1)    +   (a+b+1-1-b)    /( (  1+b)(a+b+1)  )
=  -a/(a+1)   +  (a)  /(  a+b+1+ab+b²+b) 
=  ( -a² -ab-a-a²b-ab²-ab  +  a²+a)  / [ (a+1)(a+b+1+ab+b²+b)]
=   ( -ab-a²b-ab²-ab  )  / [ (a+1)(a+b+1+ab+b²+b)]
ce résultat est bien négatif  donc
(a+b)/(1+a+b)<a/(1+a)+b/(1+b)

Merci de votre participation active. Continuez à poser des questions et à partager vos réponses. Ensemble, nous pouvons créer une ressource de connaissances précieuse pour tous. Chaque question trouve une réponse sur FRstudy.me. Merci et à très bientôt pour d'autres solutions.