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Sagot :
Conjectures :
* (Un) est croissante
* (Un) est minorée par 0
* (Un) est majorée par 1
* (Un) est convergente vers 1
Preuves :
* (Un) est croissante par récurrence double sur n
(I) : U0=a ; U1=b ; U2=1/2(√a+√b)>b car (√a+√b)²=a+2√(ab)+b>4b² donc U2>U1
(H) : Un+1>Un et Un+2>Un+1
√(Un+1)>√(Un) et √(Un+2)>√(Un+1)
√(Un+1)+√(Un+2)>√(Un)+√(Un+1)
Un+3>Un+2
(C) : (Un) est croissante
* (Un) est minorée par 0
U0>0 et U1>0 et pour tout entier n : 1/2(√(Un)+√(Un+1))>0
donc Un+2>0 donc (Un) est minorée par 0
* (Un) est majorée par 1 par récurrence double sur n
(I) : U0=a<1 et U1=b<1 donc √a<1 et √b<1 U2=1/2(√a+√b)<1
(H) on suppose que Un<1 et Un+1<1
√(Un)<1 et √(Un+1)<1
donc 1/2(√(Un+1)+√(Un))<1
donc Un+2<1
(C) : (Un) est majorée par 1
* (Un) est convergente vers 1
(Un) est croissante et maojorée
d'après le th de convergence monotone, on en déduit que (Un) est convergente vers L
d'après le th du point fixe la limite L vérifie l'équation :
L=1/2(√L+√L) donc 2L=2√L donc L=1 (car L≠0)
donc (Un) est convergente vers 1
* (Un) est croissante
* (Un) est minorée par 0
* (Un) est majorée par 1
* (Un) est convergente vers 1
Preuves :
* (Un) est croissante par récurrence double sur n
(I) : U0=a ; U1=b ; U2=1/2(√a+√b)>b car (√a+√b)²=a+2√(ab)+b>4b² donc U2>U1
(H) : Un+1>Un et Un+2>Un+1
√(Un+1)>√(Un) et √(Un+2)>√(Un+1)
√(Un+1)+√(Un+2)>√(Un)+√(Un+1)
Un+3>Un+2
(C) : (Un) est croissante
* (Un) est minorée par 0
U0>0 et U1>0 et pour tout entier n : 1/2(√(Un)+√(Un+1))>0
donc Un+2>0 donc (Un) est minorée par 0
* (Un) est majorée par 1 par récurrence double sur n
(I) : U0=a<1 et U1=b<1 donc √a<1 et √b<1 U2=1/2(√a+√b)<1
(H) on suppose que Un<1 et Un+1<1
√(Un)<1 et √(Un+1)<1
donc 1/2(√(Un+1)+√(Un))<1
donc Un+2<1
(C) : (Un) est majorée par 1
* (Un) est convergente vers 1
(Un) est croissante et maojorée
d'après le th de convergence monotone, on en déduit que (Un) est convergente vers L
d'après le th du point fixe la limite L vérifie l'équation :
L=1/2(√L+√L) donc 2L=2√L donc L=1 (car L≠0)
donc (Un) est convergente vers 1
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