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Sagot :
Bonjour Kane10
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}-x+2-\dfrac{2x}{x^{2}+1}\ si\ x\leq1\\\\x-1-3\sqrt{x^{2}-1}\ si\ x\ \textgreater \ 1 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]Si\ x\le1,\ f'(x)=(-x+2-\dfrac{2x}{x^{2}+1})'[/tex]
[tex]f'(x)=-1+0-\dfrac{(2x)'\times(x^2+1)-(x^2+1)'\times2x}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-1-\dfrac{2\times(x^2+1)-2x\times2x}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-1-\dfrac{2x^2+2-4x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-1-\dfrac{2-2x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-\dfrac{(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2}-\dfrac{2-2x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-(x^2+1)^2-(2-2x^2)}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-(x^4+2x^2+1)-(2-2x^2)}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-x^4-2x^2-1-2+2x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-x^4-3}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-(x^4+3)}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]x^4+3\ \textgreater \ 0\ \ (somme\ de\ deux\ nombres\ positifs)\\\\\Longrightarrow -(x^4+3)\ \textless \ 0[/tex]
[tex](x^{2}+1)^2\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où [tex]\dfrac{-(x^4+3)}{(x^{2}+1)^2}\ \textless \ 0[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{Si\ x\le1,\ f'(x)\ \textless \ 0}[/tex]
[tex]xSi\ x\ \textgreater \ 1\ alors\ f'(x)=(x-1-3\sqrt{x^{2}-1})'[/tex]
[tex]f'(x)=1-0-3\times\dfrac{(x^{2}-1)'}{2\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=1-3\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=1-\dfrac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}-1}}-\dfrac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}-3x}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
Puisque le dénominateur est positif (c'est une racine carrée), le signe de f'(x) sera le signe du numérateur.
Cherchons la racine du numérateur.
[tex]\sqrt{x^{2}-1}-3x=0\\\\\sqrt{x^{2}-1}=3x[/tex]
[tex](\sqrt{x^{2}-1})^2=(3x)^2\\\\x^{2}-1=9x^2[/tex]
[tex]9x^2-x^2=-1\\\\8x^2=-1[/tex]
impossible car un carré n'est jamais négatif.
Puisque le numérateur n'admet pas de racine, son signe est toujours le même si x > 1.
Donnons à x la valeur 2 pour déterminer ce signe.
[tex]\sqrt{x^{2}-1}-3x=\sqrt{2^{2}-1}-3\times2=\sqrt{3}-6\approx-4,3\ \textless \ 0[/tex]
D'où [tex]si\ x\ \textgreater \ 1,\ alors\ \sqrt{x^{2}-1}-3x\ \textless \ 0 [/tex]
Donc, [tex]\boxed{si\ x\ \textgreater \ 1,\ alors\ f'(x)\ \textless \ 0} [/tex]
Nous en déduisons que [tex]\boxed{f'(x) \ \textless \ 0\ sur\ \mathbb{R}}[/tex]
[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}-x+2-\dfrac{2x}{x^{2}+1}\ si\ x\leq1\\\\x-1-3\sqrt{x^{2}-1}\ si\ x\ \textgreater \ 1 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]Si\ x\le1,\ f'(x)=(-x+2-\dfrac{2x}{x^{2}+1})'[/tex]
[tex]f'(x)=-1+0-\dfrac{(2x)'\times(x^2+1)-(x^2+1)'\times2x}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-1-\dfrac{2\times(x^2+1)-2x\times2x}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-1-\dfrac{2x^2+2-4x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-1-\dfrac{2-2x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=-\dfrac{(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2}-\dfrac{2-2x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-(x^2+1)^2-(2-2x^2)}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-(x^4+2x^2+1)-(2-2x^2)}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-x^4-2x^2-1-2+2x^2}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-x^4-3}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-(x^4+3)}{(x^{2}+1)^2}[/tex]
[tex]x^4+3\ \textgreater \ 0\ \ (somme\ de\ deux\ nombres\ positifs)\\\\\Longrightarrow -(x^4+3)\ \textless \ 0[/tex]
[tex](x^{2}+1)^2\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où [tex]\dfrac{-(x^4+3)}{(x^{2}+1)^2}\ \textless \ 0[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{Si\ x\le1,\ f'(x)\ \textless \ 0}[/tex]
[tex]xSi\ x\ \textgreater \ 1\ alors\ f'(x)=(x-1-3\sqrt{x^{2}-1})'[/tex]
[tex]f'(x)=1-0-3\times\dfrac{(x^{2}-1)'}{2\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=1-3\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=1-\dfrac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}}{\sqrt{x^{2}-1}}-\dfrac{3x}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{\sqrt{x^{2}-1}-3x}{\sqrt{x^{2}-1}}[/tex]
Puisque le dénominateur est positif (c'est une racine carrée), le signe de f'(x) sera le signe du numérateur.
Cherchons la racine du numérateur.
[tex]\sqrt{x^{2}-1}-3x=0\\\\\sqrt{x^{2}-1}=3x[/tex]
[tex](\sqrt{x^{2}-1})^2=(3x)^2\\\\x^{2}-1=9x^2[/tex]
[tex]9x^2-x^2=-1\\\\8x^2=-1[/tex]
impossible car un carré n'est jamais négatif.
Puisque le numérateur n'admet pas de racine, son signe est toujours le même si x > 1.
Donnons à x la valeur 2 pour déterminer ce signe.
[tex]\sqrt{x^{2}-1}-3x=\sqrt{2^{2}-1}-3\times2=\sqrt{3}-6\approx-4,3\ \textless \ 0[/tex]
D'où [tex]si\ x\ \textgreater \ 1,\ alors\ \sqrt{x^{2}-1}-3x\ \textless \ 0 [/tex]
Donc, [tex]\boxed{si\ x\ \textgreater \ 1,\ alors\ f'(x)\ \textless \ 0} [/tex]
Nous en déduisons que [tex]\boxed{f'(x) \ \textless \ 0\ sur\ \mathbb{R}}[/tex]
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