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Kattykittyblue
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Coucou, j'ai besoin de correction SVP
On considère la fonction f= x+3-√ [tex]\frac{x}{x-2} [/tex]
et (Δ) : y=x+2 est une direction asymptotique de Cf au voisinage de ∞
-Etudiez la position relative de (Cf) et (Δ) sur les intervalles ]-∞;0[ et ]2;+∞[
alors j'ai fait f(x)-y = 1-[tex] \sqrt{\frac{x}{x-2} } [/tex]
et maintenant faut savoir si le resultat est positif ou négatif
*sur ]2;+∞[
2>x
0>x-2
0<1/x-2
0 0<√x/x-2
0>-√x/x-2
0>1>1-√x/x-2 DONC (CF) est au dessous de (Δ)
*sur ]-∞;0]
x≥0
x-2≥-2
1/x-2≤-1/2
x/x-2≤-x/2
√x/x-2≤-√x/2
enfin j'ai eu
[tex]1- \sqrt{\frac{x}{x-2} } \geq \sqrt{x/2}+1 [/tex]
mais je ne sais pas si le résultat est positif ou négatif???

Sagot :

[tex]f(x)=x+3- \sqrt{ \frac{x}{x-2} } [/tex]

[tex]f(x)-(x+2)=1- \sqrt{ \frac{x}{x-2} } =1- \sqrt{ \frac{x-2+2}{x-2} } =1- \sqrt{ 1+\frac{2}{x-2} } [/tex]
[tex] \lim_{x \to +\infty} (1- \sqrt{ 1+\frac{2}{x-2} })=0[/tex]
[tex] \lim_{x \to +\infty} (f(x)-(x+2))=0[/tex]

donc la droite (Δ) : y=x+2 est une direction asymptotique de Cf au voisinage de +∞
on montre de même que (Δ) est une direction asymptotique de Cf au voisinage de -∞

[tex]f(x)-(x+2)=1- \sqrt{ 1+\frac{2}{x-2} } [/tex]

si x>2 alors 1+2/(x-2)>1 donc -√(1+2/(x-2))<-1 donc f(x)-(x+2)<0
           donc (Cf) est en-dessous de (Δ) au voisinage de +∞

si x<0 alors 1+2/(x-2)<1 donc -√(1+2/(x-2))>-1 donc f(x)-(x+2)>0
           donc (Cf) est au-dessus de (Δ) au voisinage de -∞
Bonsoir Kattykittyblue.
tu as commis une erreur que tu dois éviter : lorsque j'ai un nombre et lorsque je calcule son inverse, ce dernier ne change pas de signe.
Tu as  x-2<0 donc 1/(x-2)<0 et non 1/(x-2) >0. est ce clair?
Une méthode un peu simple pour trouver le signe de 1-√(x/x-2) est de comparer les carrés de 1 et de √(x/x-2);
1² =1 et √(x/x-2) est x/(x-2)
je calcule la difference : 1- x/(x-2) = -2/(x-2)
sur l'interval  - l'infini ; 0 on x-2 negatif donc le rapport positif; d'ou 1-√(x/x-2) est positif.
sur l'autre intrval   x-2 positif, alors le rapport est négatif
donc .....
Est ce clair?

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