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Sagot :
Soit la fonction [tex]f(x)=(x^2+x+1) \sqrt x=x^{5/2}+x^{3/2}+x^{1/2}[/tex]
Une primitive des fonctions du type [tex]x^k[/tex] est [tex] \frac{x^{k+1}}{k+1} [/tex]
ainsi une primitive de f est :
[tex]F(x)= \frac{x^{7/2}}{ \frac{7}{2} }+ \frac{x^{5/2}}{ \frac{5}{2} }+ \frac{x^{3/2}}{ \frac{3}{2} }[/tex]
soit [tex]F(x)= \frac{2}{7}x^3 \sqrt x+ \frac{2}{5}x^2 \sqrt x+\frac{2}{3}x \sqrt x+k[/tex]
Une primitive des fonctions du type [tex]x^k[/tex] est [tex] \frac{x^{k+1}}{k+1} [/tex]
ainsi une primitive de f est :
[tex]F(x)= \frac{x^{7/2}}{ \frac{7}{2} }+ \frac{x^{5/2}}{ \frac{5}{2} }+ \frac{x^{3/2}}{ \frac{3}{2} }[/tex]
soit [tex]F(x)= \frac{2}{7}x^3 \sqrt x+ \frac{2}{5}x^2 \sqrt x+\frac{2}{3}x \sqrt x+k[/tex]
Bonjour Povaa6vie2620
[tex]f(x)=(x^2+x+1)\sqrt{x}[/tex]
[tex]f(x)=(x^2+x+1)\times x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^2\times x^{\frac{1}{2}}+x\times x^{\frac{1}{2}}+1\times x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^{2+\frac{1}{2}}+ x^{1+\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^{\frac{4}{2}+\frac{1}{2}}+ x^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^{\frac{5}{2}}+ x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{1}{2}}[/tex]
Or si [tex]n\neq-1[/tex], alors une primitive de [tex]x^n[/tex] est [tex] \dfrac{x^{n+1}}{n+1} [/tex]
D'où une primitive F(x) de f(x) est [tex]F(x)=\dfrac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}+ \dfrac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{x^{\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times x^{\frac{7}{2}}+\dfrac{2}{5}\times x^{\frac{5}{2}}+\dfrac{2}{3}\times x^{\frac{3}{2}}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times \sqrt{x^7}+\dfrac{2}{5}\times \sqrt{x^5}+\dfrac{2}{3}\times \sqrt{x^3}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times \sqrt{x^6\times x}+\dfrac{2}{5}\times \sqrt{x^4\times x}+\dfrac{2}{3}\times \sqrt{x^2\times x}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times \sqrt{x^6}\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{5}\times \sqrt{x^4}\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{3}\times \sqrt{x^2}\times \sqrt{x}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times x^3\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{5}\times x^2\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{3}\times x\times \sqrt{x}[/tex]
Par conséquent,
une primitive de [tex]f(x)=(x^2+x+1)\sqrt{x}[/tex] est
[tex]\boxed{F(x)=\dfrac{2}{7}x^3\sqrt{x}+\dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}}[/tex]
[tex]f(x)=(x^2+x+1)\sqrt{x}[/tex]
[tex]f(x)=(x^2+x+1)\times x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^2\times x^{\frac{1}{2}}+x\times x^{\frac{1}{2}}+1\times x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^{2+\frac{1}{2}}+ x^{1+\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^{\frac{4}{2}+\frac{1}{2}}+ x^{\frac{2}{2}+\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]f(x)=x^{\frac{5}{2}}+ x^{\frac{3}{2}}+x^{\frac{1}{2}}[/tex]
Or si [tex]n\neq-1[/tex], alors une primitive de [tex]x^n[/tex] est [tex] \dfrac{x^{n+1}}{n+1} [/tex]
D'où une primitive F(x) de f(x) est [tex]F(x)=\dfrac{x^{\frac{5}{2}+1}}{\frac{5}{2}+1}+ \dfrac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+\dfrac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{x^{\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{5}{2}+\frac{2}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{3}{2}+\frac{2}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}}{\frac{1}{2}+\frac{2}{2}}}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{x^{\frac{7}{2}}}{\frac{7}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}}}+\dfrac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times x^{\frac{7}{2}}+\dfrac{2}{5}\times x^{\frac{5}{2}}+\dfrac{2}{3}\times x^{\frac{3}{2}}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times \sqrt{x^7}+\dfrac{2}{5}\times \sqrt{x^5}+\dfrac{2}{3}\times \sqrt{x^3}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times \sqrt{x^6\times x}+\dfrac{2}{5}\times \sqrt{x^4\times x}+\dfrac{2}{3}\times \sqrt{x^2\times x}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times \sqrt{x^6}\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{5}\times \sqrt{x^4}\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{3}\times \sqrt{x^2}\times \sqrt{x}[/tex]
[tex]F(x)=\dfrac{2}{7}\times x^3\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{5}\times x^2\times \sqrt{x}+\dfrac{2}{3}\times x\times \sqrt{x}[/tex]
Par conséquent,
une primitive de [tex]f(x)=(x^2+x+1)\sqrt{x}[/tex] est
[tex]\boxed{F(x)=\dfrac{2}{7}x^3\sqrt{x}+\dfrac{2}{5}x^2\sqrt{x}+\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}}[/tex]
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