Bonjour Emiliedemaison
[tex]f(x)=\dfrac{2x+1}{x^3-1}[/tex]
Partie 1.
[tex]\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{2x}{x^3}=\lim\limits_{x\to \pm\infty}\dfrac{2}{x^2}=[\dfrac{2}{+\infty}]=0[/tex]
Donc [tex]\boxed{\lim\limits_{x\to \pm\infty}f(x)=0}[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to 1}f(x)=?[/tex]
[tex]\lim\limits_{x\to 1}(2x+1)=3\\\lim\limits_{x\to 1^-}(x^3-1)=0^-\\\lim\limits_{x\to 1^+}(x^3-1)=0^+[/tex]
Donc [tex]\boxed{\\\lim\limits_{x\to 1^-}f(x)=-\infty}[/tex]
[tex]\boxed{\\\lim\limits_{x\to 1^+}f(x)=+\infty}[/tex]
2) Il existe donc une asymptote horizontale en -oo et +oo d'équation y = 0
et un asymptote verticale d'équation : x = 1.
Partie 2
1) La fonction f est dérivable sur son ensemble de définition, soit sur [tex]R\setminus\{1\}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{(2x+1)'(x^3-1)-(x^3-1)'(2x+1)}{(x^3-1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{2(x^3-1)-3x^2(2x+1)}{(x^3-1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{2x^3-2-6x^3-3x^2}{(x^3-1)^2}[/tex]
[tex]\boxed{f'(x)=\dfrac{-4x^3-3x^2-2}{(x^3-1)^2}}[/tex]
[tex]g(x)=-4x^3-3x^2-2[/tex]
2 a) [tex]g'(x)=-12x^2-6x\\\\\boxed{g'(x)=-6x(2x+1)}[/tex]
racines de g'(x) : 0 et -1/2
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&0&&+\infty \\ g'(x)=-12x^2-6x&&-&0&+&0&-&\\ g(x)=-4x^3-3x^2-2&+\infty&\searrow&-\frac{9}{4}=-2,25&\nearrow&-2&\searrow&-\infty\\ \end{array}[/tex]
2 b) [tex]\lim\limits_{x\to -\infty}g(x)=+\infty\ \ et\ \ g(-\dfrac{1}{2})=-2,25\ \textless \ 0[/tex]
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre [tex]\alpha[/tex] dans l'intervalle ]-oo ; -1/2] tel que [tex]g(\alpha)=0[/tex]
Cette valeur [tex]\alpha[/tex] est l'unique solution de l'équation g(x) = 0 puisque g(x) < 0 sur l'intervalle [-1/2 ; +oo[
2 c) A l'aide de la fonction TAB de la calculatrice, nous obtenons [tex]\alpha\approx-1,137[/tex]
2d) En utilisant le tableau de variations de g(x) et en tenant compte de la racine de g(x), nous déduisons que : g(x) > 0 si x < -1,137
et g(x) < 0 si x > -1,137.
3) Le signe de f'(x) est le même que celui de son numérateur puisque le dénominateur [tex](x^3-1)^2[/tex] est positif.
Or le numérateur de f'(x) est g(x)
Donc le signe de f'(x) sera le même que celui de g(x)
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1,137&&1&&+\infty \\ f'(x)&&+&0&-&||&-&\\f(x)&&\nearrow&0,516&\searrow&||&\searrow&\\ \end{array}[/tex]
Partie 3
Voir pièce jointe n°1.
Partie 4
1) Equation de la tangente T à C en 0.
L'équation de cette tangente T est de la forme : [tex]y=f'(0)(x-0)+f(0)[/tex].
Or f(0) = -1 et f'(0) = -2
Donc l'équation de la tangente T est [tex]\boxed{y=-2x-1}[/tex]
2) Position relative de C et de T.
Il faut étudier le signe de [f(x) - (-2x-1)]
[tex]f(x)-(-2x-1)=\dfrac{2x+1}{x^3-1}+2x+1[/tex]
[tex]f(x)-(-2x-1)=\dfrac{2x+1+(2x+1)(x^3-1)}{x^3-1}[/tex]
[tex]f(x)-(-2x-1)=\dfrac{2x+1+(2x^4-2x+x^3-1)}{x^3-1}[/tex]
[tex]f(x)-(-2x-1)=\dfrac{2x^4+x^3}{x^3-1}[/tex]
[tex]f(x)-(-2x-1)=\dfrac{x^3(2x+1)}{x^3-1}[/tex]
racines : numérateur : 0 et -1/2
dénominateur : 1
[tex]\begin{array}{|c|ccccccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&0&&1&&+\infty \\ x^3&&-&-&-&0&+&+&+&\\2x+1&&-&0&+&+&+&+&+&\\x^3-1&&-&-&-&-&-&0&+&\\f(x)-(-2x-1)&&-&0&+&0&-&||&+&\\ \end{array}[/tex]
[tex]f(x)-(-2x-1)\ \textless \ 0\ si\ x\in]-\infty;-\dfrac{1}{2}[\cup]0;1[\\\\f(x)-(-2x-1)\ \textgreater \ 0\ si\ x\in]-\dfrac{1}{2};0[\cup]1;+\infty[[/tex]
Par conséquent,
C est en-dessous de T si [tex]x\in]-\infty;-\dfrac{1}{2}[\cup]0;1[[/tex]
C est au-dessus de T si [tex]x\in]-\dfrac{1}{2};0[\cup]1;+\infty[[/tex]
Voir pièce jointe n°2.
