1) f(x)=(2x²-4x+1)/(x-2)
f(x)=ax+b+c/(x-2)=((ax+b)(x-2)+c)/(x-2)=(ax²+(b-2a)x+(c-2b))/(x-2)
par identification avec f(x) on obtient :
a=2 ; b-2a=-4 ; c-2b=1
donc a=2 ; b=0 ; c=1
donc f(x)=2x+1/(x-2)
2) f(x)-2x=1/(x-2)
si x<2 alors 1/(x-2) <0 donc Cf est en-dessous de (d)
si x>2 alors 1/(x-2)>0 donc Cf est au-dessus de (d)
3) lim(f(x),+∞)=lim(2x,+∞)+lim(1/(x-2),+∞)=+∞
lim(f(x),-∞)=lim(2x,-∞)+lim(1/(x-2),-∞)=-∞
4) f'(x)=2-1/(x-2)²=(2(x-2)²-1)/(x-2)²=(2x²-8x+7)/(x-2)²
f'(x)=0 donne 2x²-8x+7=0 ; delta=8 ; x1≈1,29 et x2≈2,71
f'(x)>0 donne 2x²-8x+7>0 donc x<1,29 ou x>2,71
donc f est croissante sur ]-∞;1,29] et sur [2,71;+∞[
et f est décroissante sur [1,29;2[ et sur ]2;2,71]
5) la tangente (Δ) est parallèle à (d') : y=x+1 si f'(x)=1
donc (2x²-8x+7)/(x-2)²=1
donc 2x²-8x+7=(x-2)²
2x²-8x+7=x²-4x+4
x²-4x+3=0
(x-1)(x-3)=0
x=1 ou x=3
donc les points solutions sont A(1;1) et B(3;7)
