Bonjour,
Pour démontrer que ABCD est un rectangle, il suffit de démontrer que les diagonales sont de même mesures et se coupent en leurs milieux.
Calcul de la longueur AC :
[tex]AC^{2}=(x_{A}-x_{B}) ^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2} \\ AC^{2}=(2-5)^{2} +(1-0)^{2}\\AC^{2}=3^{2}+1^{2}
\\AC^{2}=9+1\\AC^{2}=10
[/tex]
Calcul de la longueur BD :
[tex]BD^{2}=(3-4)^{2}+(2-(-1)) ^{2}\\BD^{2}=(-1) ^{2} + 3^{2}\\BD^{2}=1+9\\BD^{2}=10 [/tex]
Calcul du milieu de [AC] :
[tex]x_m= \frac{5+2}{2}= \frac{7}{2}\\
y_m= \frac{1+0}{2}= \frac{1}{2}
[/tex]
m(3.5;0.5)
Calcul du milieu de [BD] :
[tex]x_m= \frac{3+4}{2}= \frac{7}{2} \\y_m= \frac{2-1}{2} = \frac{1}{2} [/tex]
m(3.5;0.5)
Donc ABCD est un rectangle.
2) ABCD est un rectangle donc ABC est un triangle rectangle.
Calcul de la longueur AB :
[tex]AB ^{2}=(2-3)^{2} +(1-2) ^{2}\\AB^{2} =1+1\\AB= \sqrt{2} [/tex]
Calcul du cosinus de BAC :
[tex]cos (a)= \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{10} } \\cos(a)= \frac{ \sqrt{2}\times \sqrt{10}}{10} \\cos(a)= \frac{2 \sqrt{5} }{10}\\cos(a)= \frac{ \sqrt{5} }{5} [/tex]
Donc a=63°
