Soit u(n+1)=(3u(n)+4)/(u(n)+3) et u(0)=-1
1) u est définie par mode de récurrence
2) si u(n+1)=f(u(n)) alors f(x)=(3x+4)/(x+3)
f est une fonction homographique croissante sur (0;+∞[
3) graphique laissé au lecteur....
on observe : u(1)=0,5 ; u(2)=0,57 ; u(3)=1,91 ; u(4)=1,98 ; u(5)=1,99; ...etc
4) conjectures :
* (u(n)) est croissante
* (u(n)) est minorée par -1 et majorée par 2
* (u(n)) est convergente vers 2
5) v(n+1)=(u(n+1)+2)/(u(n+1)-2)
=((3u(n)+4)/(u(n)+3)+2)/((3u(n)+4)/(u(n)+3)-2)
=(3u(n)+4+2u(n)+6)/(3u(n)+4-2u(n)-6)
=(5u(n)+10)/(u(n)-2)
=5(u(n)+2)/(u(n)-2)
=5*v(n)
donc v est une suite géométrique de 1er terme v(0)=-1/3 et de raison q=5
6) v(n)=v(0)*q^n=-1/3*5^n
v(n)=(u(n)+2)/(u(n)-2)
donc u(n)=(2v(n)+2)/(v(n)-1)
donc u(n)=(-2/3*5^n+2)/(-1/3*5^n-1)
ainsi on a bien : lim(u(n))=2
