Bonjour Monpetitcoeur72
Exercice 3.
1) a) [tex]U_{n+1}=U_n\times M[/tex]
La matrice M est la suivante :
[tex]M=\begin{pmatrix}
0,96 & 0\\ 3
& 1
\end{pmatrix}[/tex]
D'où : [tex]\begin{pmatrix} u_{n+1} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} u_n & 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,96 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]b)\ U_1=U_0\times M\\\\U_1=\begin{pmatrix} 50 & 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,96 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\boxed{U_1=\begin{pmatrix} 51 & 1 \end{pmatrix}}[/tex]
[tex]U_2=U_1\times M\\\\U_2=\begin{pmatrix} 51 & 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,96 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
[tex]\boxed{U_2=\begin{pmatrix} 51,96 & 1 \end{pmatrix}}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{u_1=51\ \ et\ \ u_2=51,96}[/tex]
[tex]c)\ U_{p+1}=U_p\times M[/tex]
[tex]U_{p+1}=(U_0\times M^p)\times M[/tex]
[tex]U_{p+1}=U_0\times (M^p\times M)[/tex]
[tex]U_{p+1}=U_0\times M^{p+1}[/tex]
D'où [tex]\boxed{U_n=U_0\times M^n}[/tex]
soit [tex]\boxed{\begin{pmatrix} u_n & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50 & 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,96 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix}^n}[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} u_6 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 50 & 1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0,96 & 0\\ 3 & 1 \end{pmatrix}^6[/tex]
[tex]\begin{pmatrix} u_6 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 55,43105526 & 1 \end{pmatrix}[/tex]
D'où [tex]\boxed{u_6=55,43105526}[/tex]
2) a) [tex]v_n=u_n-75[/tex]
[tex]v_{n+1}=u_{n+1}-75[/tex]
[tex]v_{n+1}=0,96u_{n}+3-75[/tex]
[tex]v_{n+1}=0,96u_{n}-72[/tex]
[tex]v_{n+1}=0,96u_{n}-0,96\times75[/tex]
[tex]v_{n+1}=0,96(u_{n}-75)[/tex]
[tex]v_{n+1}=0,96v_n[/tex]
Par conséquent, la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,96 et dont le premier terme est [tex]v_0=u_0-75=50-75=-25[/tex]
b) Dès lors,
[tex]v_n=-25\times 0,96^n[/tex]
[tex]u_n-75=-25\times 0,96^n[/tex]
[tex]\boxed{u_n=75-25\times 0,96^n}[/tex]
[tex]c)\ u_6=75-25\times 0,96^6\\\\\boxed{u_6=55,43105526}[/tex]
