Bonjour Crazysamy11
Les fonctions cube sont les fonctions définies sur R par :
f(x)=ax^3+bx²+cx+d où a, b, c,d sont des nombres réels fixés, a différent de 0.
a) déterminer f''(x)
[tex]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx\\\boxed{f''(x)=6ax+2b}[/tex]
b) En déduire que la convexité d'une fonction cube est indépendante des valeurs de c et de d .
La convexité de la fonction est liée au signe de la dérivée seconde.
Or l'expression de la dérivée seconde ne contient pas de c, ni de d.
Par conséquent,
la convexité d'une fonction cube est indépendante des valeurs de c et de d .
c) Montrer que la courbe représentative d'une fonction cube admet toujours un point d'inflexion. Préciser son abscisse X0 en fonction de a et de b.
La dérivée seconde f'' est une fonction affine avec a ≠ 0, .
D'où cette dérivée seconde s'annule toujours pour une certaine valeur X0 en changeant de signe autour de cette valeur.
Donc la convexité de la fonction change de part et d'autre de la valeur X0
Par conséquent, cette fonction admet toujours un point d'inflexion.
[tex]f''(x)=0\\6ax+2b=0\\6ax=-2b[/tex]
[tex]x=\dfrac{-2b}{6a}[/tex]
[tex]\boxed{x=\dfrac{-b}{3a}}[/tex]
Par conséquent,
l'abscisse X0 du point d'inflexion est [tex]\boxed{x_0=\dfrac{-b}{3a}}[/tex]
d) Discuter de la convexité d'une fonction cube suivant les valeurs de x (On distinguera les cas a supérieur à 0 et a inférieur à 0)
Il suffit d'étudier le signe de la fonction affine définie par [tex]f''(x)=6ax+b[/tex]
1er cas : a > 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\frac{b}{3a}&&+\infty \\&&&&&\\ f''(x)=6ax+2b&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]
Donc la fonction f admet une concavité négative sur l'intervalle [tex]]-\infty\ ;\ -\dfrac{b}{3a}][/tex]
la fonction f admet une concavité positive sur l'intervalle [tex][-\dfrac{b}{3a}\ ;\ +\infty[[/tex]
f admet un point d'inflexion au point d'abscisse [tex]\dfrac{-b}{3a}[/tex]
Autrement dit,
la fonction f est concave sur l'intervalle [tex]]-\infty\ ;\ -\dfrac{b}{3a}][/tex]
la fonction f est convexe sur l'intervalle [tex][-\dfrac{b}{3a}\ ;\ +\infty[[/tex]
f admet un point d'inflexion au point d'abscisse [tex]\dfrac{-b}{3a}[/tex]
2ème cas : a < 0
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-\frac{b}{3a}&&+\infty \\&&&&&\\ f''(x)=6ax+2b&&+&0&-&\\ \end{array}[/tex]
Donc la fonction f admet une concavité positive sur l'intervalle [tex]]-\infty\ ;\ -\dfrac{b}{3a}][/tex]
la fonction f admet une concavité négative sur l'intervalle [tex][-\dfrac{b}{3a}\ ;\ +\infty[[/tex]
f admet un point d'inflexion au point d'abscisse [tex]\dfrac{-b}{3a}[/tex]
Autrement dit,
la fonction f est convexe sur l'intervalle [tex]]-\infty\ ;\ -\dfrac{b}{3a}][/tex]
la fonction f est concave sur l'intervalle [tex][-\dfrac{b}{3a}\ ;\ +\infty[[/tex]
f admet un point d'inflexion au point d'abscisse [tex]\dfrac{-b}{3a}[/tex]
