a>0,b>0,c>0 avec a=1/x,b=1/y,c=1/z
et 1/x+1/y+1/z=1 ou a+b+c=1
[tex] (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2\ge0\Longrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\Longrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab} [/tex]
[tex] (\sqrt{b}-\sqrt{c})^2\ge0\Longrightarrow b-2\sqrt{bc}+c\ge0\Longrightarrow b+c\ge2\sqrt{bc} [/tex]
[tex] (\sqrt{c}-\sqrt{a})^2\ge0\Longrightarrow c-2\sqrt{ca}+a\ge0\Longrightarrow c+a\ge2\sqrt{ca} [/tex]
On multiplie:
[tex] (a+b)(b+c)(c+a)\ge2\sqrt{ab}*2\sqrt{bc}*2\sqrt{ca} [/tex]
[tex] (a+b)(b+c)(c+a)\ge8\sqrt{a^2b^2c^2} [/tex]
[tex] (a+b)(b+c)(c+a)\ge8abc [/tex]
[tex] (1-c)(1-a)(1-b)\ge8abc [/tex]
[tex] \frac{1-c}{c}*\frac{1-a}{a}*\frac{1-b}{b}\ge8 [/tex]
[tex] ({z-1)*(x-1)*(y-1)\ge8 [/tex]
