Bonjour/Bonsoir,
1) on sait que x² +(1/x)² >0 ( la somme de deux carré )
donc x² +(1/x)² +2 > 2
or x² + (1/x)² +2 = (x+ 1/x)²
donc (x+ 1/x)² > 2
meme démonstration pur b²
pour c =x/y +y/x
on sait que (x/y)² + (y/x)² > 0
on ajoute 2 à chaque membre on obtient c² > 2
2) on fait la differnce de a-2
a-2 = x + (1/x) -2 on réduit au meme dénominateur on obtient
a-2 = (x² +1 -2x)/x = (x-1)² /x
numérateur et dénominateur positif donc a-2 >0
donc a>2
pour c: on fait la difference de c et 2 on obtient
c-2 = x/y + y/x -2 ; aprés réduction au meme denominateur on obtient
c-2 = (x² +y² -2xy)/xy = (x-y)²/xy
numerat et dénominat positifs donc c-2 >0
donc c>2
4) on a a>2 et c>2 et on démontre de meme que b>2
donc on a>2
b>2
c>2
on fait la somme membre a membre les 3 inegalités on obtient
a+b+c>2+2+2
Soit a+b+c >6
On fait le produit membre à membre les 3 inégalités ( tous les membres sont psitifs) on obtient a*b*c>2*2*2
soit abc>8.
5) on a a>2 et b>2 et c>2
donc a² >4 et b² >4 et c²>4
on fait la somme membre à membre on obtient: a² + b² + c² >4 + 4 + 4
donc a² + b² + c² > 12
