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Agathe1404
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Bonjour,

Soit h la fonction définie sur [-2;1] par
 h(x)=-x^4-2x^3+2x+1.

Je sais ça :
Forme développée de h'(x) = -4x^3-6x²+2
Forme factorisée de h'(x) = (x+1)²(-4x+2)

1) En déduire les variations de h sur [-2;1]

Merci d'avance !

Sagot :

Bonjour,
On sait que (x+1)²>0 donc le signe de h'(x) est le signe de -4x+2
-4x+2=0 ssi x=1/2
-4x+2>0 ssi x<1/2
-4x+2<0 ssi x>1/2
donc h'(x)>0 sur l'intervalle -2 ; 1/2   et  h'(x)<0 sur l'intervalle 1/2; 1
donc h est croissante sur l'intervalle -2 ; 1/2  et décroissante sur 1/2 ; 1.
faisons le tableau de variation pour cela il faut d abord avoir les points où h' s annule, il faut donc utiliser la forme factorisée de h' or
(x+1)^2 est positif donc h'(x) est de signe de
-4x+2
-4x+2=0 si-4x=-2 càd si x=1/2
faisons le tableau de variation:
x -00 -2 1/2 1 +00
-4x+2 + 0 -
h(x) / \
donc entre moins l infini et 1/2 h est croissante et entre 1/2 et +00 h est décroissante , étudions la variation de h sur [-2; 1]
h(-2)=-(-2)^4-2 (-2)^3+2 (-2)+1
h(-2)=-16+16-4+1
h(-2)=-3
h(1)=-(1)^4-2 (1)^3+2 (1)+1
h(1)=0
h(0)=1




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