👤

Trouvez des réponses à vos questions les plus pressantes sur FRstudy.me. Posez n'importe quelle question et recevez des réponses rapides et bien informées de la part de notre communauté d'experts expérimentés.

bonsoir je voudrai de l'aide pour un exercice sur les vecteur merci d'avance. C'est urgent , c'est pour demain !!
le plan est rapporté à un repère orthonormé (O; vecteur i; veceur j)
chaque nombre réel t, on associe le point M de coordonnées (2-3t ; 1+t)
1) montrer que lorsque t parcourt R alors le point M appartient toujours à la droite D d'équation cartésienne : x+3y-5=0.
2) soit A(6; -1) montrer que A n'appartient pas à D.
3) montrer que pour tout t ∈ R II vecteur AM II² = 2(5t²+14t+10).
4) soit f: t⇒ 5t² +14t+ 10. dresser un tableau de variation de f.
5) soit t0 la valeur de t qui rend f(t) minimum. que représente le point M t0 ? calculer ses coordonnées.
6) calculer la distance exacte entre le point A et la droite D.
7) soit A' le symétrique orthogonal de A par rapport à la droite D. caculer les coordonnées des exactes de A'.

ps: je suis en 1ere


Sagot :

Bonjour  Wendy14

1) montrer que lorsque t parcourt R alors le point M appartient toujours à la droite D d'équation cartésienne : x+3y-5=0.

Montrons que les coordonnées du point M vérifient l'équation de la droite.
Dans l'équation de la droite, remplaçons x par 2-3t et y par 1+t.

(2-3t) + 3(1+t) - 5 = 2 - 3t + 3 + 3t - 5 = 0

Donc, le point M appartient toujours à la droite D d'équation cartésienne : x+3y-5=0.

2) soit A(6; -1) montrer que A n'appartient pas à D.

Montrons que les coordonnées de A ne vérifient pas l'équation de la droite.
Dans l'équation de la droite, remplaçons x par 6 et y par -1.

6 + 3*(-1) - 5 = 6 - 3 - 5 = -2 ≠ 0

Par conséquent, le point A n'appartient pas à D.

3) montrer que pour tout t ∈ R II vecteur AM II² = 2(5t²+14t+10).

Nous avons : A(6 ; -1) et M(2-3t ; 1+t)

[tex]||\overrightarrow{AM}||^2=(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2\\\\||\overrightarrow{AM}||^2=(2-3t-6)^2+(1+t+1)^2[/tex]

[tex]||\overrightarrow{AM}||^2=(-3t-4)^2+(t+2)^2\\\\||\overrightarrow{AM}||^2=9t^2+24t+16+t^2+4t+4[/tex]

[tex]||\overrightarrow{AM}||^2=10t^2+28t+20\\\\\boxed{||\overrightarrow{AM}||^2=2(5t^2+14t+10)}[/tex]

4) soit f: t⇒ 5t² +14t+ 10. dresser un tableau de variation de f.

Le trinôme du second degré admet un minimum puisque le coefficient de t² est positif.
Ce minimum existe si t = -14/10 = -1,4

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} t&-\infty&&-1,4&&+\infty \\ 5t^2+14t+10&&\searrow&0,2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]

5) soit t0 la valeur de t qui rend f(t) minimum. que représente le point M t0 ? calculer ses coordonnées.

Nous savons que [tex]t_0=-1,4[/tex]

Le point M(t0) représente le point de la droite D pour lequel la distance au point A est la plus petite.

Les coordonnées de ce point M(t0) sont (2-3*(-1,4) ; 1+(-1,4))
soit [tex]M_0(2+4,2 ; -0,4)[/tex]
soit [tex]\boxed{M_0(6,2\ ;\ -0,4)}[/tex]

6) calculer la distance exacte entre le point A et la droite D.

Il s'agit donc de calculer la distance [tex]AM_0[/tex]

[tex]AM_0=\sqrt{(x_M_0-x_A)^2+(y_M_0-y_A)^2}\\\\AM_0=\sqrt{(6,2-6)^2+(-0,4+1)^2}[/tex]

[tex]AM_0=\sqrt{0,2^2+0,6^2}\\\\AM_0=\sqrt{0,04+0,36}[/tex]

[tex]\boxed{AM_0=\sqrt{0,40}\approx0,6}[/tex]

Par conséquent, 
la distance exacte entre le point A et la droite D est [tex]\boxed{\sqrt{0,40}}[/tex]

7) soit A' le symétrique orthogonal de A par rapport à la droite D. caculer les coordonnées des exactes de A'.

Si A' est le symétrique orthogonal de A par rapport à la droite D, alors le point [tex]M_0[/tex] est le milieu du segment [AA'].

D'où

[tex](x_M_0;y_M_0)=(\dfrac{x_A+x_A'}{2}\ ;\ \dfrac{y_A+y_A'}{2})\\\\[/tex]

[tex](6,2\ ;\ -0,4)=(\dfrac{6+x_A'}{2}\ ;\ \dfrac{-1+y_A'}{2})[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{6+x_A'}{2}=6,2\\\dfrac{-1+y_A'}{2}=-0,4 \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}6+x_A'=12,4\\\\-1+y_A'=-0,8 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_A'=12,4-6\\\\y_A'=-0,8+1 \end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}x_A'=6,4\\\\y_A'=0,2 \end{matrix}\right.[/tex]

Par conséquent,
les coordonnées exactes de A' sont (6,4 ; 0,2).



Nous valorisons votre présence ici. Continuez à partager vos connaissances et à aider les autres à trouver les réponses dont ils ont besoin. Cette communauté est l'endroit parfait pour apprendre ensemble. Chaque question trouve sa réponse sur FRstudy.me. Merci et à bientôt pour d'autres solutions fiables.