Bonjour Wendy14
1) montrer que lorsque t parcourt R alors le point M appartient toujours à la droite D d'équation cartésienne : x+3y-5=0.
Montrons que les coordonnées du point M vérifient l'équation de la droite.
Dans l'équation de la droite, remplaçons x par 2-3t et y par 1+t.
(2-3t) + 3(1+t) - 5 = 2 - 3t + 3 + 3t - 5 = 0
Donc, le point M appartient toujours à la droite D d'équation cartésienne : x+3y-5=0.
2) soit A(6; -1) montrer que A n'appartient pas à D.
Montrons que les coordonnées de A ne vérifient pas l'équation de la droite.
Dans l'équation de la droite, remplaçons x par 6 et y par -1.
6 + 3*(-1) - 5 = 6 - 3 - 5 = -2 ≠ 0
Par conséquent, le point A n'appartient pas à D.
3) montrer que pour tout t ∈ R II vecteur AM II² = 2(5t²+14t+10).
Nous avons : A(6 ; -1) et M(2-3t ; 1+t)
[tex]||\overrightarrow{AM}||^2=(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2\\\\||\overrightarrow{AM}||^2=(2-3t-6)^2+(1+t+1)^2[/tex]
[tex]||\overrightarrow{AM}||^2=(-3t-4)^2+(t+2)^2\\\\||\overrightarrow{AM}||^2=9t^2+24t+16+t^2+4t+4[/tex]
[tex]||\overrightarrow{AM}||^2=10t^2+28t+20\\\\\boxed{||\overrightarrow{AM}||^2=2(5t^2+14t+10)}[/tex]
4) soit f: t⇒ 5t² +14t+ 10. dresser un tableau de variation de f.
Le trinôme du second degré admet un minimum puisque le coefficient de t² est positif.
Ce minimum existe si t = -14/10 = -1,4
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} t&-\infty&&-1,4&&+\infty \\ 5t^2+14t+10&&\searrow&0,2&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
5) soit t0 la valeur de t qui rend f(t) minimum. que représente le point M t0 ? calculer ses coordonnées.
Nous savons que [tex]t_0=-1,4[/tex]
Le point M(t0) représente le point de la droite D pour lequel la distance au point A est la plus petite.
Les coordonnées de ce point M(t0) sont (2-3*(-1,4) ; 1+(-1,4))
soit [tex]M_0(2+4,2 ; -0,4)[/tex]
soit [tex]\boxed{M_0(6,2\ ;\ -0,4)}[/tex]
6) calculer la distance exacte entre le point A et la droite D.
Il s'agit donc de calculer la distance [tex]AM_0[/tex]
[tex]AM_0=\sqrt{(x_M_0-x_A)^2+(y_M_0-y_A)^2}\\\\AM_0=\sqrt{(6,2-6)^2+(-0,4+1)^2}[/tex]
[tex]AM_0=\sqrt{0,2^2+0,6^2}\\\\AM_0=\sqrt{0,04+0,36}[/tex]
[tex]\boxed{AM_0=\sqrt{0,40}\approx0,6}[/tex]
Par conséquent,
la distance exacte entre le point A et la droite D est [tex]\boxed{\sqrt{0,40}}[/tex]
7) soit A' le symétrique orthogonal de A par rapport à la droite D. caculer les coordonnées des exactes de A'.
Si A' est le symétrique orthogonal de A par rapport à la droite D, alors le point [tex]M_0[/tex] est le milieu du segment [AA'].
D'où
[tex](x_M_0;y_M_0)=(\dfrac{x_A+x_A'}{2}\ ;\ \dfrac{y_A+y_A'}{2})\\\\[/tex]
[tex](6,2\ ;\ -0,4)=(\dfrac{6+x_A'}{2}\ ;\ \dfrac{-1+y_A'}{2})[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}\dfrac{6+x_A'}{2}=6,2\\\dfrac{-1+y_A'}{2}=-0,4 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}6+x_A'=12,4\\\\-1+y_A'=-0,8 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_A'=12,4-6\\\\y_A'=-0,8+1 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x_A'=6,4\\\\y_A'=0,2 \end{matrix}\right.[/tex]
Par conséquent,
les coordonnées exactes de A' sont (6,4 ; 0,2).
