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Jeremy26i
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Bonsoir, 1ère S :
Étudiez sur ]0 ; +∞[ les variations de la fonction : F(x) = [tex] \pi x^2+ \frac{2v}{x} [/tex] avec v un volume dont je n'ai pas la valeur. Étant dans le chapitre des dérivée, j'ai calculer la dérivée de f(x) et j'ai trouvé f '(x) = [tex] \frac{2( \pi x^3-v)}{x^2} [/tex]
Cependant, je ne sais pas comment étudier les variations de cette fonction, merci d'avance ! ;)

Sagot :

Bonjour Jeremy26i

[tex]f(x)= \pi x^2+ \dfrac{2v}{x} [/tex]

[tex]f'(x)= 2\pi x- \dfrac{2v}{x^2} [/tex]

[tex]f'(x)= \dfrac{2\pi x^3}{x^2}- \dfrac{2v}{x^2}[/tex]

[tex]f'(x)= \dfrac{2\pi x^3-2v}{x^2}[/tex]

[tex]f'(x)= \dfrac{2(\pi x^3-v)}{x^2}[/tex]

Le dénominateur est strictement positif (c'est un carré non nul)
D'où le signe de la dérivée f' est le même que le signe du numérateur.

Racine du numérateur :

[tex]2(\pi x^3-v)=0\\\pi x^3-v=0\\\pi x^3=v[/tex]

[tex]x^3=\dfrac{v}{\pi}\\\\x=\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}[/tex]

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}&&+\infty \\ 2(\pi x^3-v)&&-&0&+& \\ f'(x)&&-&0&+&\\ \end{array}[/tex]

Or

[tex]f(\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}})=\pi\times(\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}})^2+\dfrac{2v}{\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}}[/tex]

[tex]f(\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}})=\dfrac{\pi\times\dfrac{v}{\pi}+2v}{\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}}[/tex]

[tex]f(\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}})=\dfrac{v+2v}{\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}}[/tex]

[tex]f(\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}})=\dfrac{3v}{\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}}[/tex]

D'où

[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}&&+\infty \\ f'(x)&&-&0&+&\\f(x)&&\searrow&\dfrac{3v}{\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}}&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]

Par conséquent, 

la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle [tex]]0\ ;\ \sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}][/tex]

et est strictement croissante sur l'intervalle  [tex][\sqrt[3]{\dfrac{v}{\pi}}\ ;\ +\infty[[/tex]
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