Bonjour,
1) On peut conjecturer que f(x)=0 n'a qu'une solution sur IR
2a) f(1)=1³-3,1*1²+3,18*1-1,08=1-3,1+3,18-1,08=0
2b) (x-1)(ax²+bx+c)=ax³+bx²+cx-ax²-bx-c=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c
On a donc x³-3,1x²+3,18x-1,08=ax³+(b-a)x²+(c-b)x-c
Par analogie, on a :
a=1
et c=1,08
Donc b-1=-3,1 soit b=-2,1
Donc f(x)=(x-1)(x²-2,1x+1,08)
2c) On cherche les racines de x²-2,1x+1,08
Δ=2,1²-4*1,08=4,41-4,32=0,09
√Δ=0,3
Donc les racines sont :
(2,1+0,3)/2=1,2
et
(2,1-0,3)/2=0,9
Donc les solutions de f(x)=0 sont 0,9 ; 1 et 1,2
3)a) on dérive :
f'(x)=3x²-6,2x+3,18
On cherche les racines de f'(x)
Δ=6,2²-4*3*3,18=0,28
Les racines sont
(6,2+√0,28)/6≈1,12
et
(6,2-√0,28)/6≈0,95
On en déduit le tableau de variation suivant :
x -∞ 0,95 1,12 +∞
f'(x) + - +
f(x) croissant décroissant croissant
3b) f(0)=-1,08 or f est strictement croissante sur ]-∞;0] donc f(x)<0 sur cet intervalle. f(x)=0 n'a donc pas de solution sur cet intervalle
de même f(3)=7,56>0. Comme f est croissante sur [3;+∞[ alors f>0 sur cet intervalle.
f(x)=0 n'a donc pas de solution sur cet intervalle.
3c) f(0,95)=0,000625 donc f(x)=0 a une solution sur l'intervalle [0;0,95]
f(1)=0
f(1,12)=-0,002112<0 et f(3)>0 donc f(x)=0 a une solution sur [1,12;3]
donc f(x)=0 a 3 solutions sur [0;3]
