Bonjour SoufianBOUAZAMA
Démonstration par récurrence.
1) Initialisation :
Montrons que la propriété est vraie pour n=0
[tex](1+a)^0=1\\1+0\times a=1[/tex]
Nous avons donc bien [tex](1+a)^0\ge1+0\times a\ \ car\ 1\ge1[/tex]
2) Hérédité :
Supposons la propriété vraie à l'étape n et montrons qu'elle est encore vraie à l'étape (n+1), quel que soit n.
Supposons que [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex]
Montrons que [tex](1+a)^{n+1}\ge1+(n+1)a[/tex]
En effet,
[tex](1+a)^{n+1}=(1+a)^n(1+a)\ge(1+na)(1+a)[/tex]
soit
[tex](1+a)^{n+1}\ge(1+na)(1+a)[/tex]
[tex](1+a)^{n+1}\ge1+a+na+na^2[/tex]
[tex](1+a)^{n+1}\ge1+(1+n)a+na^2\\\\(1+a)^{n+1}\ge1+(1+n)a\ \ car\ \ na^2\ge0[/tex]
D'où [tex]\boxed{(1+a)^{n+1}\ge1+(n+1)a}[/tex]
L’initialisation et l'hérédité étant vraies, la propriété [tex](1+a)^n\ge1+na[/tex] est vraie pour tout entier naturel.
