Bonjour Stella71s
[tex]f(x)=\dfrac{-5x+1}{2x^2+x+1}[/tex]
Recherchons l'ensemble de définition de la fonction f.
Déterminons les éventuelles racines du dénominateur.
[tex]2x^2+x+1=0\\\Delta=1^2-4\times2\times1=1-8=-7\ \textless \ 0[/tex]
D'où le dénominateur n'admet pas de racine.
Par conséquent, l'ensemble de définition de f est [tex]D_f=\mathbb{R}[/tex] ( f est définie pour tout réel x)
[tex]\lim\limits_{x\to\pm\infty} f(x) = \lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{-5x+1}{2x^2+x+1}= \lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{-5x}{2x^2}= \lim\limits_{x\to\pm\infty} \dfrac{-5}{2x}=0[/tex]
La fonction admet une asymptote horizontale en +oo et en -oo dont l'équation est y = 0 (axe des abscisses)
Croissance de f.
[tex]f'(x)=(\dfrac{-5x+1}{2x^2+x+1})'[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{(-5x+1)'(2x^2+x+1)-(-5x+1)(2x^2+x+1)'}{(2x^2+x+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-5(2x^2+x+1)-(-5x+1)(4x+1)}{(2x^2+x+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{(-10x^2-5x-5)-(-20x^2-5x+4x+1)}{(2x^2+x+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{-10x^2-5x-5+20x^2+5x-4x-1}{(2x^2+x+1)^2}[/tex]
[tex]f'(x)=\dfrac{10x^2-4x-6}{(2x^2+x+1)^2}[/tex]
Tableau de signes de f '(x)
Racines du numérateur :
[tex]10x^2-4x-6=0\\\Delta=(-4)^2-4\times10\times(-6)=16+240=256\ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]x_1=\dfrac{4-\sqrt{256}}{20}=\dfrac{4-16}{20}=\dfrac{-12}{20}=\dfrac{-3}{5}\\x_2=\dfrac{4+\sqrt{256}}{20}=\dfrac{4+16}{20}=\dfrac{20}{20}=1[/tex]
Pas de racine au dénominateur.
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac{3}{5}=-0,6&&1&&+\infty \\ 10x^2-4x-6&&+&0&-&0&+&\\2x^2+x+1&&+&+&+&+&+&\\f'(x)&&+&0&-&0&+&\\f(x)&0&\nearrow&\dfrac{25}{7}\approx3,6&\searrow&-1&\nearrow&0\\ \end{array}[/tex]
D'où, nous déduisons de ce tableau que la minimum absolu de la fonction f est égal à -1 et que le maximum absolu de la fonction f est 25/7, soit environ 3,6.
3,6 - (-1) = 3,6 + 1 = 4,6 < 5
Par conséquent,
la représentation graphique de f dans un repère orthonormé est entièrement contenue dans une bande de plan de plan de largeur 5
Voir graphique en pièce jointe.
