1) en général |x+y| ≤|x| + |y| dans l'exercice si x = a et y = b-9a²b
on arrive à |a+b-9a²b| ≤|a| + |b-9a²b| ≤ |a| + |b| * | 1 - 9a² |
comme |b| ≤1 on déduit que |a+b-9a²b| ≤ |a| + | 1 - 9a² |
et comme |a| ≤ 1/3 alors a² ≤ 1/9 d'où 9a² ≤1 et 1-9a² positif
ce qui entraine |1-9a²| = 1-9a²
conclusion
|a+b-9a²b| ≤ 1+ |a| - 9a²
2)soit f(a)= 1 + |a| - 9a² = 1 +a -9a² pour a positif ou 1 -a - 9a² pour a négatif
f'(a) = 1-18a ou - 1-18a le maximum de cette fonction est donc atteint pour a= -1/18 et a= 1/18
or f(1/18)= f(-1/18)= 37/36
comme |a+b-9a²b| ≤ f(a) on peut affirmer que
|a+b-9a²b| ≤ 37/ 36
d'où
- 37/ 36 ≤ a +b - 9a²b ≤ 37/36
ceci est bien un encadrement d'amplitude 37/36 - (-37/36 )= 37/18
