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Bonsoir,
Ci-dessous mon DM de mathématiques à rendre a la rentrée.
Soit ABCD un carré de côté 5 (j'ai ajouté la figure dans les illustrations). M, N, P et Q sont des points mobiles respectivement sur les segments [AB]; [BC], [CD], [DA] de telle sorte que les longueurs AM, AQ, CN, et CP restent égales.
Soit x cette longueur commune. On a donc AM = AQ =CN = CP = x

1- Dans quel intervalle varie x ?
2- Exprimer en fonction de x l'aire de chacun des triangles AMQ et BMN. En déduire que l'aire du quadrilatère MNPQ est 10x-2x²
3-A l'aide de votre calculatrice, recopier et compléter le tableau de valeur ci dessous pour f(x)=10x-2x²
4- Justifier que pour tout x de [0;5] on a :
f(x) = 12,5-2(x-2,5)²
En déduire que, pour tout x de [0;5] on a f(x) inférieur ou égal a 12,5
5- Que peut-on conclure?

Bonsoir Cidessous Mon DM De Mathématiques À Rendre A La Rentrée Soit ABCD Un Carré De Côté 5 Jai Ajouté La Figure Dans Les Illustrations M N P Et Q Sont Des Poi class=

Sagot :

Bonsoir,
1) le coté du carré est 5, les points M, N, P, Q appartiennent aux cotés AB, BC, CD et  DA.
Donc les distances AM, AQ, CN et  CQ varient entre 0 et 5.
donc  x varie entre 0 et 5 .
2) l'aire des triangles AMQ et BMN, on les note A1 et A2
Donc A1= (AM×AQ)/2 = x*x/2 =x²/2
et A2= ((5-x)(5-x))/2 = ((5-x)²)/2
Aire du quadrilatere MNPQ on le note Ax est égale à l'aire Ac du carré ABCD moinsla somme des aires A1, A2, A3, A4 des 4 triangles AMQ, BMN, CNP et DPQ.
Donc Ax = Ac -( A1+A2+A3+A4) 
donc Ax = 5*5  -  2( A1+A2)   car A1=A3 et A2=A4.
Donc Ax = 25 - 2( x²/2  +  (5-x)²/2 )
Ax = 25 - (x² + (5-x)²)
aprés calcul on trouve Ax= 10x -2x²
Donc laire du quadrilatere MNPQ est égale à 10x-2x²
3) calcul simple
4)  montrons que f(x) =12.5 -2.5(x-2.5)²
12.5 -2(x-2.5)² = 12.5 -2(x² -5x +6.25) = -2x² +10x
donc f(x) = 12.5 -2(x-2.5)².
On sait que       -2(x-5)²< 0  ajoutons 12.5 à chaque membre de cette inégalité
 on obtient   12.5 -2(x-2.5)² <12.5 
donc                    f(x)    <     12.5.
5) Pour tout x de l'intervalle 0; 5  l'aire du quadrilatère MNPQ est inferieur à 12.5.

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