Bonjour SoufianBOUAZAMA
Les premiers termes de la suite sont :
u0 = 0
u1 = 1
u2 = 4/3
u3 = 3/2
u4 = 8/5
u5 = 5/3
u6 = 12/7
u7 = 7/4
u8 = 16/9
...
Nous constatons que si n est impair, alors [tex]u_n=\dfrac{n}{\dfrac{n+1}{2}}\Longrightarrow \boxed{u_n=\dfrac{2n}{n+1}}[/tex]
Si n est pair, alors [tex]\boxed{u_n=\dfrac{2n}{n+1}}[/tex]
Nous pouvons donc conjecturer que la suite est définie par u0 = 0 et [tex]u_n=\dfrac{2n}{n+1}[/tex] pour tout n naturel.
Démontrons cette conjecture par récurrence.
1) Initialisation :
[tex]u_0=0[/tex]
[tex]u_0=\dfrac{2\times0}{0+1}=\dfrac{0}{1}=0[/tex]
L'initialisation est donc vraie pour n = 0
2) Hérédité :
Supposons que la propriété est vraie à l'étape n et montrons qu'elle est encore vraie à l'étape (n+1)
Supposons que [tex]u_n=\dfrac{2n}{n+1}[/tex]
Montrons que [tex]u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{(n+1)+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}[/tex]
En effet,
[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{4-u_n}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{4-\dfrac{2n}{n+1}}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{\dfrac{4(n+1)-2n}{n+1}}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{\dfrac{4n+4-2n}{n+1}}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{4}{\dfrac{2n+4}{n+1}}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{4(n+1)}{2n+4}[/tex]
[tex]u_{n+1}=\dfrac{4(n+1)}{2(n+2)}[/tex]
[tex]\boxed{u_{n+1}=\dfrac{2(n+1)}{n+2}}[/tex]
L'hérédité est donc vérifiée.
Puisque l’initialisation et l'hérédité sont vraie, la suite est définie par u0 = 0 et [tex]u_n=\dfrac{2n}{n+1}[/tex] pour tout n naturel.
