Bonjour SoufianBOUAZAMA
La probabilité de s'arrêter sur un secteur rouge est égale à 1/4.
La probabilité de s'arrêter sur un secteur bleu est égale à 3/4.
Faire tourner 5 fois la roue revient à répéter 5 expériences identiques et indépendantes l'une de l'autre.
Nous sommes donc en présence d'une loi binomiale de paramètres (5 ; 1/4)
[tex]P}(5\ secteurs\ rouges) =\binom{5}{5}\times(\dfrac{1}{4})^5\times(\dfrac{3}{4})^0=\dfrac{1}{1024}[/tex]
[tex]P}(4\ secteurs\ rouges) =\binom{5}{4}\times(\dfrac{1}{4})^4\times(\dfrac{3}{4})^1=5\times\dfrac{3}{4^5}=\dfrac{15}{1024}[/tex]
[tex]P}(3\ secteurs\ rouges) =\binom{5}{3}\times(\dfrac{1}{4})^3\times(\dfrac{3}{4})^2=10\times\dfrac{9}{4^5}=\dfrac{90}{1024}[/tex]
[tex]P}(2\ secteurs\ rouges) =\binom{5}{2}\times(\dfrac{1}{4})^2\times(\dfrac{3}{4})^3=10\times\dfrac{27}{4^5}=\dfrac{270}{1024}[/tex]
[tex]P}(1\ secteur\ rouge) =\binom{5}{1}\times(\dfrac{1}{4})^1\times(\dfrac{3}{4})^4=5\times\dfrac{81}{4^5}=\dfrac{405}{1024}[/tex]
[tex]P}(0\ secteur\ rouge) =\binom{5}{0}\times(\dfrac{1}{4})^0\times(\dfrac{3}{4})^5=\dfrac{3^5}{4^5}=\dfrac{243}{1024}[/tex]
Or
5 secteurs rouges donnent un gain total de 5 x 700 = 3500 €
4 secteurs rouges donnent un gain total de 4 x 700 - 1 x 300 = 2500 €
3 secteurs rouges donnent un gain total de 3 x 700 - 2 x 300 = 1500 €
2 secteurs rouges donnent un gain total de 2 x 700 - 3 x 300 = 500 €
1 secteur rouge donne un gain total de 1 x 700 - 4 x 300 = -500 € (perte de 500 €)
0 secteur rouge donne un gain total de 0 x 700 - 5 x 300 = -1500 € (perte de 1500 €)
Espérance mathématique des gains =
[tex]E(X)=3500\times\dfrac{1}{1024}+2500\times\dfrac{15}{1024}+1500\times\dfrac{90}{1024}+500\times\dfrac{270}{1024}\\\\-500\times\dfrac{405}{1024}-1500\times\dfrac{243}{1024}[/tex]
[tex]E(X)=-\dfrac{256000}{1024}[/tex]
[tex]E(X)=-250[/tex]
A je jeu, le joueur peut "espérer avoir un gain négatif de -250€", soit "espérer perdre 250€".
Ce jeu est défavorable au joueur.
Donc, il ne faut pas jouer à ce jeu... !
