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Sagot :
[tex]f(x)=1+ \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} } [/tex] avec x réel
[tex]f'(x)= \frac{ \sqrt{1+x^2}-x \times \frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2} } }{ (\sqrt{1+x^2})^2}[/tex]
soit [tex]f'(x)= \frac{ \sqrt{1+x^2}- \frac{x^2}{ \sqrt{1+x^2} } }{1+x^2} = \frac{( \sqrt{1+x^2})^2 -x^2}{(1+x^2)^{3/2} }= \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} [/tex]
ainsi f'(x)>0 sur IR
donc f est strictement croissante sur IR
par ailleurs
[tex]f(x)=1+ \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }=1+ \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }[/tex]
pour x>0
et de même [tex]f(x)=1+ \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }=1- \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }[/tex] pour x<0
donc on en déduit :
[tex] \lim_{x \to -\infty} f(x)=0 [/tex] et [tex] \lim_{x \to +\infty} f(x)=2 [/tex]
Par conséquent f réalise une bijection de IR vers ]0;2[
[tex]f'(x)= \frac{ \sqrt{1+x^2}-x \times \frac{2x}{2 \sqrt{1+x^2} } }{ (\sqrt{1+x^2})^2}[/tex]
soit [tex]f'(x)= \frac{ \sqrt{1+x^2}- \frac{x^2}{ \sqrt{1+x^2} } }{1+x^2} = \frac{( \sqrt{1+x^2})^2 -x^2}{(1+x^2)^{3/2} }= \frac{1}{(1+x^2)^{3/2}} [/tex]
ainsi f'(x)>0 sur IR
donc f est strictement croissante sur IR
par ailleurs
[tex]f(x)=1+ \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }=1+ \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }[/tex]
pour x>0
et de même [tex]f(x)=1+ \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }=1- \frac{1}{ \sqrt{1+ \frac{1}{x^2} } }[/tex] pour x<0
donc on en déduit :
[tex] \lim_{x \to -\infty} f(x)=0 [/tex] et [tex] \lim_{x \to +\infty} f(x)=2 [/tex]
Par conséquent f réalise une bijection de IR vers ]0;2[
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