Sagot :
Aaaah, des exponentielles! Juste pour le petit point culturel, ces fonctions sont aussi appelées sh(x) et ch(x), respectivement. Si tu vas en prépa maths après le bac, prépare-toi à tomber dessus!
1.a)
Soit f(x) = (e^(x) - e^(-x))/2
Alors f(-x) = (e^(-x) - e^(x))/2
= -(e^(x) - e^(x))/2
= -f(x), effectivement!
On peut alors en déduire que f(x) est une fonction impaire, et que sa courbe représentative admet un centre de symétrie qui est l'origine O.
1.b) Quand x tend vers +∞, e^(x) tend vers +∞ et - e^(-x) tend vers 0. Le diviseur par deux n'affecte pas la limite en soi. Limite de f(x) quand x tend vers +∞ est donc de +∞!
Puisqu'on a énoncé auparavant que f(x) est impaire, tu peux tout de suite conclure que limite de f(x) quand x tend vers -∞ = -∞. Mais tu peux refaire le calcul de limite et ça colle. (En faisant bien attention aux signes!)
Pour le sens de variation: Signe de la dérivée. f'(x) = (e^(x) + e^(-x))/2 car (e^(x)/2)' = e^(x)/2 et (-e^(-x)/2)' = e^(-x)/2; Et de plus, dérivée d'une somme: Somme des dérivées.
La fonction exponentielle est strictement positive sur tout R: Tu fais une somme de que des termes positifs dans la dérivée: La dérivée est donc toujours positive. f(x) est donc strictement croissante sur R.
1.c) Ta fonction est impaire et strictement croissante sur R. Conclusion, elle vaut 0 en 0, positive pour des valeurs de x positives, et négative pour des valeurs de x négatives.
Pour le 1.d), je te laisse faire le tracé? Pour ce qui est de l'équation de la tangente en 0, je rappelle la formule: f'(a)(x-a) + f(a)
En 0: f'(0)x + f(0) = ((e^(0) + e^(0))/2)x + (e^(0) - e^(0))/2
= (2/2)x + (1-1)/2 = x
2.a) Même chose que 1.a) mais avec g(x)
Soit g(x) = (e^(x) + e^(-x))/2
Donc g(-x) = (e^(-x) + e(x))/2
= g(x) !
Donc g(x) est une fonction paire. La courbe représentatrice de la fonction g admettra alors un axe de symétrie, qui est l'axe des ordonnées!
2.b) C'est comme 1.b):
Quand x tend vers +∞, e^(x) tend vers +∞ et e^(-x) vers 0. Donc, l'ensemble tend alors vers +∞.
En -∞, tu peux immédiatement déduire que g(x) tend vers +∞ par parité de la fonction g.
Pareil aussi pour le sens de variation: Signe de la dérivée de g(x), toussa.
g'(x) = (e^(x) - e^(-x))/2
(Tiens, curieux, en dérivant, on retombe sur l'autre fonction... C'est aussi une des propriétés de ch(x) et sh(x)! Bon O.K. je me tais avec ma culture à la noix...)
Comme on remarque que g'(x) = f(x), que f(x) est négatif quand x est négatif et positif quand x positif, tu peux en déduire que g(x) est décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[.
2.c) f(x) - g(x) = (e^(x) - e^(-x))/2 - (e^(x) + e^(-x))/2
= -2e^(-x)/2
= -e^(-x)
Ainsi, limite quand x tend vers +∞ de f(x) - g(x) = limite quand x tend vers +∞ de -e^(-x) = 0!
Les courbes f(x) et g(x) se rapprocheraient donc l'une de l'autre au fur et à mesure que l'on prend des x de plus en plus grands.
2.d) Je te laisse faire pour le tracé, encore une fois! Pour ce qui est de la tangente, même formule:
Equation de la tangente en 0:
g'(0)x + g(0)
= ((e^(0) - e^(0))/2)x + (e^(0) + e^(0))/2 = 0x/2 + 2/2 = 1!
3.) f(x) + g(x) = (e^(x) - e^(-x))/2 + (e^(x) + e^(-x))/2
= 2e^(x) + 0e^(-x) / 2
= 2e^(x) / 2
= e^(x). O.K.!
g²(x) - f²(x) = (e^(x) + e^(-x))²/4 - (e^(x) - e^(-x))²/4
= 1/4(e^(2x) + 2e^(x)e^(-x) + e(-2x) - e^(2x) + e^(x)e^(-x) - e^(-2x))
2e^(x)e^(-x) = 2e^(0) = 2. Les termes en e^(-2x) et e^(2x) se simplifient et s'annulent. Au final tu as:
(2 + 2)/4
= 1.
Et voilà le travail!
Bonne continuation!
1.a)
Soit f(x) = (e^(x) - e^(-x))/2
Alors f(-x) = (e^(-x) - e^(x))/2
= -(e^(x) - e^(x))/2
= -f(x), effectivement!
On peut alors en déduire que f(x) est une fonction impaire, et que sa courbe représentative admet un centre de symétrie qui est l'origine O.
1.b) Quand x tend vers +∞, e^(x) tend vers +∞ et - e^(-x) tend vers 0. Le diviseur par deux n'affecte pas la limite en soi. Limite de f(x) quand x tend vers +∞ est donc de +∞!
Puisqu'on a énoncé auparavant que f(x) est impaire, tu peux tout de suite conclure que limite de f(x) quand x tend vers -∞ = -∞. Mais tu peux refaire le calcul de limite et ça colle. (En faisant bien attention aux signes!)
Pour le sens de variation: Signe de la dérivée. f'(x) = (e^(x) + e^(-x))/2 car (e^(x)/2)' = e^(x)/2 et (-e^(-x)/2)' = e^(-x)/2; Et de plus, dérivée d'une somme: Somme des dérivées.
La fonction exponentielle est strictement positive sur tout R: Tu fais une somme de que des termes positifs dans la dérivée: La dérivée est donc toujours positive. f(x) est donc strictement croissante sur R.
1.c) Ta fonction est impaire et strictement croissante sur R. Conclusion, elle vaut 0 en 0, positive pour des valeurs de x positives, et négative pour des valeurs de x négatives.
Pour le 1.d), je te laisse faire le tracé? Pour ce qui est de l'équation de la tangente en 0, je rappelle la formule: f'(a)(x-a) + f(a)
En 0: f'(0)x + f(0) = ((e^(0) + e^(0))/2)x + (e^(0) - e^(0))/2
= (2/2)x + (1-1)/2 = x
2.a) Même chose que 1.a) mais avec g(x)
Soit g(x) = (e^(x) + e^(-x))/2
Donc g(-x) = (e^(-x) + e(x))/2
= g(x) !
Donc g(x) est une fonction paire. La courbe représentatrice de la fonction g admettra alors un axe de symétrie, qui est l'axe des ordonnées!
2.b) C'est comme 1.b):
Quand x tend vers +∞, e^(x) tend vers +∞ et e^(-x) vers 0. Donc, l'ensemble tend alors vers +∞.
En -∞, tu peux immédiatement déduire que g(x) tend vers +∞ par parité de la fonction g.
Pareil aussi pour le sens de variation: Signe de la dérivée de g(x), toussa.
g'(x) = (e^(x) - e^(-x))/2
(Tiens, curieux, en dérivant, on retombe sur l'autre fonction... C'est aussi une des propriétés de ch(x) et sh(x)! Bon O.K. je me tais avec ma culture à la noix...)
Comme on remarque que g'(x) = f(x), que f(x) est négatif quand x est négatif et positif quand x positif, tu peux en déduire que g(x) est décroissante sur ]-∞, 0] et croissante sur [0, +∞[.
2.c) f(x) - g(x) = (e^(x) - e^(-x))/2 - (e^(x) + e^(-x))/2
= -2e^(-x)/2
= -e^(-x)
Ainsi, limite quand x tend vers +∞ de f(x) - g(x) = limite quand x tend vers +∞ de -e^(-x) = 0!
Les courbes f(x) et g(x) se rapprocheraient donc l'une de l'autre au fur et à mesure que l'on prend des x de plus en plus grands.
2.d) Je te laisse faire pour le tracé, encore une fois! Pour ce qui est de la tangente, même formule:
Equation de la tangente en 0:
g'(0)x + g(0)
= ((e^(0) - e^(0))/2)x + (e^(0) + e^(0))/2 = 0x/2 + 2/2 = 1!
3.) f(x) + g(x) = (e^(x) - e^(-x))/2 + (e^(x) + e^(-x))/2
= 2e^(x) + 0e^(-x) / 2
= 2e^(x) / 2
= e^(x). O.K.!
g²(x) - f²(x) = (e^(x) + e^(-x))²/4 - (e^(x) - e^(-x))²/4
= 1/4(e^(2x) + 2e^(x)e^(-x) + e(-2x) - e^(2x) + e^(x)e^(-x) - e^(-2x))
2e^(x)e^(-x) = 2e^(0) = 2. Les termes en e^(-2x) et e^(2x) se simplifient et s'annulent. Au final tu as:
(2 + 2)/4
= 1.
Et voilà le travail!
Bonne continuation!
f(x)=(e^x-e^(-x))/2 et g(x)=(e^x+e^(-x))/2
1) a) f(-x)=(e^(-x)-e^(x))/2 et -f(x)=(-e^x+e^(-x))/2
donc f(-x)=-f(x) donc f est impaire sur IR
donc Cf est symétrique par rapport à O(0;0)
b) lim(e^x,+∞)=+∞ et lim(e^(-x),+∞)=0 donc lim(f(x),+∞)=+∞
de même on obtient lim(f(x),-∞)=-∞
f'(x)=(e^x+e^(-x))/2=g(x)
or pour tout x réel : e^x>0
donc f'(x)>0 donc f est croissante sur IR
c) f(0)=(e^0-e^0)/2=0
donc si x<0 alors f(x)<f(0) donc f(x)<0
et si x>0 alors f(x)>0
d) graphique laissé au lecteur
2) a) g(-x)=(e^(-x)+e^(x))/2=g(x)
donc g est paire sur IR
donc Cg est symétrique par rapport à l'axe (Oy)
b) lim(e^x,+∞)=+∞ et lim(e^(-x),+∞)=0 donc lim(g(x),+∞)=+∞
de même on obtient lim(f(x),-∞)=+∞
g'(x)=(e^x-e^(-x))/2=f(x)
d'après la question 1) on déduit :
* g est décroissante sur IR-
* g est croissante sur IR+
c) f(x)-g(x)=-e^(-x)
or e^(-x)>0 donc f(x)-g(x)<0
donc Cg est située en dessous de Cf
d) graphique laissé au lecteur
3) a) f(x+g(x)=(e^x+e^(-x)+e^x-e^(-x))/2=e^x
b) g²(x)=(e^x+e^(-x))²/4=(e^(2x)+2e^0+e^(-2x))/4=(e^(2x)+e^(-2x))/4+1/2
f²(x)=(e^x-e^(-x))²/4=(e^(2x)-2e^0+e^(-2x))/4=(e^(2x)+e^(-2x))/4 -1/2
donc g²(x)-f²(x)=1/2-(-1/2)=1
1) a) f(-x)=(e^(-x)-e^(x))/2 et -f(x)=(-e^x+e^(-x))/2
donc f(-x)=-f(x) donc f est impaire sur IR
donc Cf est symétrique par rapport à O(0;0)
b) lim(e^x,+∞)=+∞ et lim(e^(-x),+∞)=0 donc lim(f(x),+∞)=+∞
de même on obtient lim(f(x),-∞)=-∞
f'(x)=(e^x+e^(-x))/2=g(x)
or pour tout x réel : e^x>0
donc f'(x)>0 donc f est croissante sur IR
c) f(0)=(e^0-e^0)/2=0
donc si x<0 alors f(x)<f(0) donc f(x)<0
et si x>0 alors f(x)>0
d) graphique laissé au lecteur
2) a) g(-x)=(e^(-x)+e^(x))/2=g(x)
donc g est paire sur IR
donc Cg est symétrique par rapport à l'axe (Oy)
b) lim(e^x,+∞)=+∞ et lim(e^(-x),+∞)=0 donc lim(g(x),+∞)=+∞
de même on obtient lim(f(x),-∞)=+∞
g'(x)=(e^x-e^(-x))/2=f(x)
d'après la question 1) on déduit :
* g est décroissante sur IR-
* g est croissante sur IR+
c) f(x)-g(x)=-e^(-x)
or e^(-x)>0 donc f(x)-g(x)<0
donc Cg est située en dessous de Cf
d) graphique laissé au lecteur
3) a) f(x+g(x)=(e^x+e^(-x)+e^x-e^(-x))/2=e^x
b) g²(x)=(e^x+e^(-x))²/4=(e^(2x)+2e^0+e^(-2x))/4=(e^(2x)+e^(-2x))/4+1/2
f²(x)=(e^x-e^(-x))²/4=(e^(2x)-2e^0+e^(-2x))/4=(e^(2x)+e^(-2x))/4 -1/2
donc g²(x)-f²(x)=1/2-(-1/2)=1
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