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Sagot :
Montrer que, pour tout naturel n: 7^2n + 3 est divisible par 4
Il s'agit d'appliquer un "raisonnement par récurrence faible sur n"
Initialisation :
si n=0 alors 7^(0)+3=4 est divisible par 4
donc la propriété est vraie au rang n=0
Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang n
donc il existe un entier k tel que 7^(2n)+3=4k
donc 7^(2n)=4k-3
donc 7²*7^(2n)=7²*(4k-3)
donc 7^(2n+2)=49*4k-49*3
donc 7^(2(n+1))+3=196k-147+3
donc 7^(2(n+1))+3=196k-144
donc 7^(2(n+1))+3=4(49k-36)
donc 7^(2(n+1))+3=4k' avec k' entier
donc la propriété est vraie au rang n+1
Conclusion :
Pour tout entier n ; 7^(2n)+3 est divisible par 4
Il s'agit d'appliquer un "raisonnement par récurrence faible sur n"
Initialisation :
si n=0 alors 7^(0)+3=4 est divisible par 4
donc la propriété est vraie au rang n=0
Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang n
donc il existe un entier k tel que 7^(2n)+3=4k
donc 7^(2n)=4k-3
donc 7²*7^(2n)=7²*(4k-3)
donc 7^(2n+2)=49*4k-49*3
donc 7^(2(n+1))+3=196k-147+3
donc 7^(2(n+1))+3=196k-144
donc 7^(2(n+1))+3=4(49k-36)
donc 7^(2(n+1))+3=4k' avec k' entier
donc la propriété est vraie au rang n+1
Conclusion :
Pour tout entier n ; 7^(2n)+3 est divisible par 4
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