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Exercice explications

Bonjour, je ne comprend pas la correction de cet exercice dont voici l'énoncé :
Montrer que, pour tout naturel n:
7^2n + 3 est divisible par 4

On veut montrer par récurrence P(n) : "7^2n + 3 est divisible par 4"
Initialisation : j'ai compris
Hérédité : supposons que P(n) est vraie. 7^2n + 3 = 4k
Alors :
7^(2(n+1)) + 3 = 49.7^2n + 3 = 48.7^2n + 7^2n + 3 = 4.(12.7^2n) + 4k divisible par 4
Donc P(n+1) est vraie

Je ne comprend pas le passage de ça : 48.7^2n + 7^2n + 3 a 4.(12.7^2n) + 4k divisible par 4

Sagot :

Bernie76
Bonjour,

explication en pièce jointe .pdf.
Montrer que, pour tout naturel n: 7^2n + 3 est divisible par 4

Il s'agit d'appliquer un "raisonnement par récurrence faible sur n"

Initialisation :
si n=0 alors 7^(0)+3=4 est divisible par 4
donc la propriété est vraie au rang n=0

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang n
donc il existe un entier k tel que 7^(2n)+3=4k
donc 7^(2n)=4k-3
donc 7²*7^(2n)=7²*(4k-3)
donc 7^(2n+2)=49*4k-49*3
donc 7^(2(n+1))+3=196k-147+3
donc 7^(2(n+1))+3=196k-144
donc 7^(2(n+1))+3=4(49k-36)
donc 7^(2(n+1))+3=4k' avec k' entier
donc la propriété est vraie au rang n+1

Conclusion :
Pour tout entier n ; 7^(2n)+3 est divisible par 4
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