Bonjour,
A1) f'(x)=exp(-0,25x+5)+(x-4)*(-0,25)exp(-0,25x+5)
f'(x)=(1-x/4+1)exp(-0,25x+5)=(2-x/4)exp(-0,25x+5)
∀x, exp(-0,25x+5)>0 donc le signe de f'(x) dépend de (2-x/4)
Sur [4;20], on a :
f'(x)≥0 sur [4;8]
f'(x)≤0 sur [8;20]
A2) On en déduit le tableau de variation suivant :
x 4 8 20
f' + 0 -
f 0 croissant décroissant
B1) Le prix est donné en centaines d'euros donc le prix de revient de N aspirateur en fonction du prix de vente est 4*exp(-0,25x+5)
La recette est donnée par : prix de vente x Nb d'acheteurs
Soit recette(x)=xexp(-0,25x+5)
Donc le bénéfice=recette - prix de revient est
B(x)=xexp(-0,25x+5)-4exp(-0,25x+5)=f(x)
B2) D'après la partie A, le bénéfice sera donc maximal pour x=8
f(8)=(8-4)exp(-0,25*8+5)=4exp(3)≈80,34 soit environ 8.034 €
