Joyeuses fêtes,
1
E(0;0) ; F(1;0) ; G(1;1) ; H(0;1)
2.a
(EFK) étant équilatéral et I étant milieu de [EF], (IK) est donc perpendiculaire à (EF) et on a xI = xK
Or xI = (xE+xF)/2 = (0+1)/2 = 1/2
Donc xK = 1/2
EF=1⇒EK=1
Or, EK^2=(xK-xE)^2+(yK-yE)^2
Donc, 1^2 =1=(1/2-0)^2+(yK-0)^2⇒1=1/4+yK^2⇒yK^2=3/4⇒yK=√3/2
b
(FGJ) étant équilatéral, soit (JR) la droite perpendiculaire à (FG) qui coupe [FG] en R; donc R est milieu de [FG] et JR=1√3/2=√3/2
(JR) perpendiculaire à (FG) et (EF) perpendiculaire à (FG)⇒(JR)//(EF)⇒
yJ = yR=(yF+yG)/2=(0+1)/2 =1/2
xJ=xF+JR=1+√3/2
3
Les coordonnées du vecteur HK sont xK-xH=1/2-0=1/2 et yK-yH=-1+√3/2
Les coordonnées du vecteur HJ sont xJ-xH=1+√3/2-0=1+√3/2 et
yJ-yH=1/2-1=-1/2
4
(yK-yH)/(yJ-yH) = (-1+√3/2)/(-1/2)=2-√3
(xK-xH)/(xJ-xH)=1/2/(√3/2+1)=1/(2+√3)=(2-√3)/(2+√3)(2-√3)=(2-√3)/(4-3)=
2-√3
Donc (yK-yH)/(yJ-yH) = (xK-xH)/(xJ-xH)⇒HJ et HK sont colinéaires⇒H, J et K sont alignés.
