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Sagot :
soit S(n)=1²+2²+3²+...+n²
soit P(x)=ax³+bx²+cx+d
P(x+1)-P(x)=a((x+1)³-x³)+b((x+1)²-x²)+c(x+1-x)
=a(3x²+3x+1)+b(2x+1)+c
=(3a)x²+(3a+2b)x+(a+b+c)
on cherche a,b,c,d tels que P(x+1)-P(x)=x²
donc 3a=1 ; 3a+2b=0 ; a+b+c=0
donc a=1/3 ; b=-1/2 ; c=1/6
donc P(x)=1/3.x³-1/2.x²+1/6x
donc P(x)=(2x³-3x²+x)/6
alors S(n)=(P(2)-P(1))+(P(3)-P(2))+...+(P(n+1)-P(n)
=-P(1)+(P(2)-P(2))+...+(P(n)-P(n))+P(n+1)
=P(n+1) car P(1)=0
donc S(n)=P(n+1)=(2(n+1)³-3(n+1)²+(n+1))/6
=(2(n³+3n²+3n+1)-3(n²+2n+1)+n+1)/6
=(2n³+6n²+6n+2-3n²-6n-3+n+1)/6
=(2n³+3n²+n)/6
=n(2n²+3n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6
soit P(x)=ax³+bx²+cx+d
P(x+1)-P(x)=a((x+1)³-x³)+b((x+1)²-x²)+c(x+1-x)
=a(3x²+3x+1)+b(2x+1)+c
=(3a)x²+(3a+2b)x+(a+b+c)
on cherche a,b,c,d tels que P(x+1)-P(x)=x²
donc 3a=1 ; 3a+2b=0 ; a+b+c=0
donc a=1/3 ; b=-1/2 ; c=1/6
donc P(x)=1/3.x³-1/2.x²+1/6x
donc P(x)=(2x³-3x²+x)/6
alors S(n)=(P(2)-P(1))+(P(3)-P(2))+...+(P(n+1)-P(n)
=-P(1)+(P(2)-P(2))+...+(P(n)-P(n))+P(n+1)
=P(n+1) car P(1)=0
donc S(n)=P(n+1)=(2(n+1)³-3(n+1)²+(n+1))/6
=(2(n³+3n²+3n+1)-3(n²+2n+1)+n+1)/6
=(2n³+6n²+6n+2-3n²-6n-3+n+1)/6
=(2n³+3n²+n)/6
=n(2n²+3n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6
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