Bonjour,
(ABH) et (ABC) sont deux triangles rectangles ayant l'angle aigu en B commun; ils sont semblables et ont les longueurs de leurs côtés homologues proportionnelles; on a:
AB/HB = BC/AB ⇒ AB^2 = HB.BC
Il en est de même pour les triangles rectangles ((ACH) et (ABC) qui ont en commun l'angle aigu en C.
On a:
AC/HC = BC/AC ⇒ AC^2 = HC.BC
(ABH) et (AHC) sont deux triangles rectangles ayant les deux angles aigus HAC et HBA égaux car leurs côtés sont deux à deux perpendiculaires; donc ils sont semblables et on a:
AH/HC = HB/AH ⇒ AH^2 = HB.HC
Le théorème de Pythagore donne pour les triangles rectangles (AHB) et (AHC):
AB^2 = AH^2+HB^2 et AC^2 = AH^2+HC^2 et BC^2 = AB^2+AC^2
D'où
AB^2 + AC^2 = 2AH^2 + HB^2 + HC^2 = BC^2
On a:
AH.BC = AB.AC car AH.BC/2 = AB.AC/2
Donc AH^2.BC^2 = AB^2.AC^2 ⇒ AH^2 = AB^2.AC^2 / BC^2 ⇒
1/AH^2 = BC^2 / AB^2.AC^2 ⇒ 1/AH^2 = (AB^2+AC^2)/AB^2.AC^2 ⇒
1/AH^2 = AB^2/AB^2.AC^2 + AC^2/AB^2.AC^2 ⇒
1/AH^2 = 1/AB^2 + 1/AC^2
