Bonjour,
On pose Z= (z+i)/(z+1)
donc Z =(x+iy +i )/(x+iy+1)
On multiplie le numérateu et dénominateur par x+1-iy le conjugué de x+iy+1
donc Z = [(x+iy+i)(x+1-iy)]/[(x+1+iy)(x+1-iy)]
Après développement on trouve:
Z= [x²+x+y²+y +i(xy + x(y+1) +y+1)]/[(x+1)²+y²]
Pour que Z soit imaginaire pur il faut que la partie réelle soit nulle
donc il faut que (x²+x+y²+y)/[(x+1)² +y²]=0
on a (x+1)²+y² ≠0 donc x²+x+y²+y=0
x²+x+y²+y=0 équivaut à (x+1/2)² -1/4 + (y+1/2)² -1/4 =0
donc (x +1/2)² +(y+1/2)² = 1/4 +1/4 =1/2
c'est une équation du cercle C de centre ω(-1/2;-1/2) et de rayon √1/2.
