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Bonsoir, j'ai un exo de maths à faire et je n'ai rien compris pouvez vous m'aider
On se propose de démontrer que la fonction f définie sur R par f(x)=x(au carré)-2x est strictement croissante sur [1;plus infinie[ et strictement décroissante sur ]moins infini;1].
On considère deux réels a et b tels que a est inférieur à b.
1) montrer que f(b)-f(a)=(b-a)(a+b-2).
2) Déterminer alors le signe de f(b)-f(a) en fonction des valeurs de a et b.
3) En déduire les variations de la fonction f

merci d'avanc

Sagot :

Bonjour,
1) f(x)=x²-2x
 f(b)-f(a) = b²-2b -(a²-2a)= b²-2b -a² +2a   
              =b²- a² -2(b-a)
              = (b-a)(b+a)  -2(b-a)
              =(b-a)[ (b+a) -2]
               =(b-a)(b+a-2)

2)le signe de f(b)-f(a) c'est a dire le signe de (b-a)(b+a-2)
Etudions le signe de f(b)-f(a) sur [1;+∞[
sur [1;+∞[  on a ; a≥1 et b≥1 donc a+b≥1+1
                        alors a+b≥2  c'est a dire   a+b-2≥2-2
                   donc a+b-2≥0
de plus ona a<b donc b-a>0
alors (b-a)(a+b-2)≥0  ( produit de deux nombres positifs)
donc f(b)-f(a)≥0 ce qui veut dire que f est croissante sur [1;+∞[.
Etudions le signe de f(b)-f(a) sur ]-∞;1]
sur ]-∞;1] on a ; a≤1 et b≤1 alors a+b-2≤0
de plus on a b-a>0 
alors (b-a)(a+b-2)≤0  ( produit d'un nombre positif et un nombre négatif)
alors f(b) -f(a) ≤0
3) on a f(b)-f(a) ≥0 sur [1;+∞[ donc f est croissante sur [1;+∞[.
et f(b)-f(a) ≤0 sur ]-∞;1] donc f est décroissante sur  ]-∞;1].
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