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Bonsoir à tous. Pourriez vous m'aider s'il vous plaît.
φ : p ↦ −p ln(p) + (p − 1) (p + ln(1 − p))
Déterminer le domaine de définition et les variations de la fonction

Sagot :

Laurance
la fonction est définie  pour   p>0  et  1-p >0    donc   pour  p dans  ]0  ;1 [ 

phi ' (p)  = -1ln(p)  - p* 1/p    +  1(  p  +   ln(1-p) )  + (p -1)*(  1  + (-1) /(1-p)  )

phi '(p)  =  -ln(p)  -  1  +  p   +   ln(1-p)   + p  -1    + 1  = - ln(p) + ln(1-p) +2p -1


phi '' (p) = - 1/p   + (-1) / (1-p)  +   2  = 1/ p  +  1 /(p-1)   +  2 

=   (  -p  + 1   +  p  +  2p(p-1)  )   /( p (p-1)  ) 

= ( 2p²   -   2p  +   1) /  ( p(p-1) )

signe de  2 p² - 2p  +1    :  delta =  4 - 8 <0 
donc    2p² - 2 p  +1  positif  et   comme  p>0   et    p-1<0  

phi''(p) est négatif    phi'  est décroissante  de + inf  à  - inf  
l'équation phi'(p)=  0  admet une solution unique   p = a
la fonction  phi'  est donc positive  jusqu'à  a  puis négative
phi est  croissante  puis décroissante





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