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Sagot :
1) Soit λ ∈ R∗+.
Montrer que la fonction définie sur R+ par x ↦ 1 − e−λx est bijective et préciser sa fonction réciproque, que l'on notera g.
on pose f(x)=1-e^(-λx)
donc f'(x)=λe^(-λx)>0
donc f est strict croissante sur IR
lim(f(x),-∞)=-∞ et lim(f(x),+∞)=1
donc f réalise une bijection croissante de IR vers ]-∞;1]
2) sa fonction réciproque g vérifie (g of)(x)=x
y=f(x) donc x=g(y)
donc y=1-e^(-λx)
donc 1-y=e^(-λx)
donc -λx=ln(1-y)
donc x=-1/λ.ln(1-y)
donc g(y)=-1/λ.ln(1-y)
3) En posant Q : x ↦ 1 − (1 + λx) e−λx, calculer la composée h = Q ∘ g.
h(x)=(Q o g)(x)
=1 − (1 -ln(1-x))(1-x)
=(1-x).ln(1-x)
4) Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
h'(x)=-1.ln(1-x)+(1-x)*(-1)/(1-x)
=-1-ln(1-x)
h'(x)=0 donne ln(1-x)=-1
donc x=1-1/e
h'(x)>0 donne x>1-1/e
donc h est décroissante sur ]-∞;1-1/e] et croissante sur [1-1/e;1]
5) Montrer que h est convexe.
h''(x)=-(-1)/(1-x)=1/(1-x)
or x<1 donc 1-x>0
donc h''(x)>0
donc h est convexe sur ]-∞;1]
Montrer que la fonction définie sur R+ par x ↦ 1 − e−λx est bijective et préciser sa fonction réciproque, que l'on notera g.
on pose f(x)=1-e^(-λx)
donc f'(x)=λe^(-λx)>0
donc f est strict croissante sur IR
lim(f(x),-∞)=-∞ et lim(f(x),+∞)=1
donc f réalise une bijection croissante de IR vers ]-∞;1]
2) sa fonction réciproque g vérifie (g of)(x)=x
y=f(x) donc x=g(y)
donc y=1-e^(-λx)
donc 1-y=e^(-λx)
donc -λx=ln(1-y)
donc x=-1/λ.ln(1-y)
donc g(y)=-1/λ.ln(1-y)
3) En posant Q : x ↦ 1 − (1 + λx) e−λx, calculer la composée h = Q ∘ g.
h(x)=(Q o g)(x)
=1 − (1 -ln(1-x))(1-x)
=(1-x).ln(1-x)
4) Calculer la dérivée de h et en déduire les variations de h.
h'(x)=-1.ln(1-x)+(1-x)*(-1)/(1-x)
=-1-ln(1-x)
h'(x)=0 donne ln(1-x)=-1
donc x=1-1/e
h'(x)>0 donne x>1-1/e
donc h est décroissante sur ]-∞;1-1/e] et croissante sur [1-1/e;1]
5) Montrer que h est convexe.
h''(x)=-(-1)/(1-x)=1/(1-x)
or x<1 donc 1-x>0
donc h''(x)>0
donc h est convexe sur ]-∞;1]
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