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comment calculer les coordonnées du minimum de la fonction fm(x)=(x+m)*e^x ?

Sagot :

Bonjour,
On calcule d'abord la dérivée de fm(x): ( avec m paramètre)
f'm(x)= (x+m)'e^x + (x+m)(e^x)'
f'm(x)=e^x +(x+m)e^x
f'm(x)= (x+m+1)e^x
f'm(x)=0 ssi (x+m+1)=
x+m+1=0 ssi x=-m-1
donc f'm(x) ≤ 0 ssi x≤-m-1 et f'm(x)≥0 ssi x≥-m-1.
Alors: f'm(x) ≤0 sur ]-∞;-m-1] et f'm(x)≥0 sur [-m-1;+∞[
d'ou  f est décroissante sur ]-∞; -m-1] et croissante sur [-m-1;+∞[.
Donc f admet un minimum qui a pur coordonnées -m-1 et f(-m-1).

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