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Sagot :
Bonjour Philosophe
Posons [tex]\Phi'(p)=f(p)[/tex] et étudions les variations de la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; 1[.
[tex]f(p)=\ln(\dfrac{1-p}{p})+2p-1\\\\f(p)=\ln(1-p)-\ln(p)+2p-1[/tex]
Calcul de la dérivée f '(p)
[tex]f'(p)=(\ln(1-p)-\ln(p)+2p-1)'\\\\f'(p)=\dfrac{-1}{1-p}-\dfrac{1}{p}+2[/tex]
[tex]f'(p)=\dfrac{-p}{p(1-p)}-\dfrac{1-p}{p(1-p)}+\dfrac{2p(1-p)}{p(1-p)}[/tex]
[tex]f'(p)=\dfrac{-p-(1-p)+2p(1-p)}{p(1-p)}[/tex]
[tex]f'(p)=\dfrac{-p-1+p+2p-2p^2}{p(1-p)}[/tex]
[tex]\boxed{f'(p)=\dfrac{-2p^2+2p-1}{p(1-p)}}[/tex]
Signe de la dérivée.
Le numérateur est strictement négatif car le discriminant de -2p²+2p-1=-4<0 et que le coefficient de p² est négatif.
Sur ]0 ; 1[, le dénominateur est strictement positif.
Donc sur ]0 ; 1[, f '(p) < 0
Par conséquent, f est strictement décroissante sur ]0 ; 1[
De plus,
[tex]\lim\limits_{p\to0^+}f(p)=+\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{p\to1^-}f(p)=-\infty[/tex]
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre unique α dans l'intervalle ]0 ; 1[ tel que f(α) = 0.
Or
[tex]f(p)=\ln(1-p)-\ln(p)+2p-1\\\\\Longrightarrow f(0,5)=\ln(1-0,5)-\ln(0,5p)+2\times 0,5-1\\\Longrightarrow f(0,5)=\ln(0,5)-\ln(0,5p)+1-1[/tex]
D'où [tex]\boxed{f(0,5)=0}[/tex], soit [tex]\boxed{f(p)=0\Longleftrightarrow p = 0,5}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\Phi'(p)=0\Longleftrightarrow f(p)=0\Longleftrightarrow \boxed{p=0,5}[/tex]
Posons [tex]\Phi'(p)=f(p)[/tex] et étudions les variations de la fonction f définie sur l'intervalle ]0 ; 1[.
[tex]f(p)=\ln(\dfrac{1-p}{p})+2p-1\\\\f(p)=\ln(1-p)-\ln(p)+2p-1[/tex]
Calcul de la dérivée f '(p)
[tex]f'(p)=(\ln(1-p)-\ln(p)+2p-1)'\\\\f'(p)=\dfrac{-1}{1-p}-\dfrac{1}{p}+2[/tex]
[tex]f'(p)=\dfrac{-p}{p(1-p)}-\dfrac{1-p}{p(1-p)}+\dfrac{2p(1-p)}{p(1-p)}[/tex]
[tex]f'(p)=\dfrac{-p-(1-p)+2p(1-p)}{p(1-p)}[/tex]
[tex]f'(p)=\dfrac{-p-1+p+2p-2p^2}{p(1-p)}[/tex]
[tex]\boxed{f'(p)=\dfrac{-2p^2+2p-1}{p(1-p)}}[/tex]
Signe de la dérivée.
Le numérateur est strictement négatif car le discriminant de -2p²+2p-1=-4<0 et que le coefficient de p² est négatif.
Sur ]0 ; 1[, le dénominateur est strictement positif.
Donc sur ]0 ; 1[, f '(p) < 0
Par conséquent, f est strictement décroissante sur ]0 ; 1[
De plus,
[tex]\lim\limits_{p\to0^+}f(p)=+\infty\ \ et\ \ \lim\limits_{p\to1^-}f(p)=-\infty[/tex]
Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un nombre unique α dans l'intervalle ]0 ; 1[ tel que f(α) = 0.
Or
[tex]f(p)=\ln(1-p)-\ln(p)+2p-1\\\\\Longrightarrow f(0,5)=\ln(1-0,5)-\ln(0,5p)+2\times 0,5-1\\\Longrightarrow f(0,5)=\ln(0,5)-\ln(0,5p)+1-1[/tex]
D'où [tex]\boxed{f(0,5)=0}[/tex], soit [tex]\boxed{f(p)=0\Longleftrightarrow p = 0,5}[/tex]
Par conséquent,
[tex]\Phi'(p)=0\Longleftrightarrow f(p)=0\Longleftrightarrow \boxed{p=0,5}[/tex]
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