Bonsoir,
On va discuter deux cas : n est pair ou n impair ( car si on prend un entier ou bien il est pair ou bien il est impair)
1) si n est pair
On sait que un nombre n est pair s'il est divisible par 2 c'est à dire on peut trouver un entier k tel n=2k .
Donc n(n+1) =2k(2k+1) = 2(k(k+1))
si on pose k(k+1) =h ( on a k est un entier donc k+1 est un entier donc k(k+1) est un entier)
alors on a n(n+1) =2h donc on a trouvé que n(n+1) est divisible par 2 donc n(n+1) est pair
2) si n est impair
un nombre n est impair est un nombre qui lors de sa division par 2 donne 1 pour reste. C'est à dire n=2k'+1 avec k' est un entier.
donc n(n+1) = (2k'+1)(2k'+1+1) ( on a n=2k'+1 donc n+1 = (2k'+1)+1 )
donc n(n+1) = (2k'+1)(2k'+2)= (2k'+1)x2(k'+1)
donc n(n+1) = 2(k'+1)(2k'+1)
on pose (k'+1)(2k'+1) =h'
donc n(n+1) =2h' ( k' est un entier donc k'+1 et 2k'+1 sont des entiers alors(k'+1)(2k'+1) est un entier)
donc on a trouvé que n(n+1) est divisible par 2 donc n(n+1) est pair.
Conclusion : quelque soit la valeur de n le nombre n(n+1) est pair.
Remarque: le produit de deux entiers consécutifs est un nombre pair.
