Définition: un nombre rationnel est un nombres qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction irréductible ,c'est-à-dire sous la forme a/b , où a et b sont des nombre entiers relatifs et b ≠ 0.
1) si √2 est rationnel alors il existe p et q deux nombres entiers tel que :
√2=p/q en élevant au carré j'obtiens : (√2)²=(p/q)² et donc :
2=p²/q² ce qui veut dire que p²=2q²( pour trouver cette relation j'ai fait le produit en croix )
2) comme p²=2q² on en déduit que p² est pair ( un nombre entier est pair si est multiple de 2) .
3) On remarque que 2 est pair et on fait 2²=4 est encore pair !
pareil pour 4 et 4²=16
Démontrons cette remarque !
soit b un nombre entier pair . Montrons que b² est aussi pair .
b est pair donc b est multiple de 2 . Donc b=2×k ou k est un nombre entier donc b²=(2×k)²=4×k²=2×2k² donc b² est pair
conclusion : si b est un nombre entier pair alors b² l'est aussi !
4) Un nombre entier est impair si n'est pas divisible par 2 ( s'il n'est pas pair )
3 est impair on a 3²=9 est aussi impair .
5 est impair on a 5²=25 est aussi impair
Démontrons ce résultat !
soit C un nombre impair alors C est pas divisible par 2 !
C²=C×C , comme n'est pas divisible par 2 alors C×C aussi donc par suite C² est impair !
5) on sait que p² est pair , d'après la question 3 , on en déduit que p est pair !
6) puisque p est pair alors il existe un entier a tel que p=2a .
comme p²=2q² alors q²=p²/2 or p²=(2a)²=4a² donc q²=4a²/2=2a²
q²=2a²
7) comme q²=2a² alors q est pair
8) Les réponses aux questions 5 et 7 montre que p et q sont pairs donc ils sont divisible par 2 . Or par hypothèse la fraction p/q est irreductible ce qui veut dire p et q n'ont aucun diviseur commun ! on rejette donc l'hypothèse de départ
9) Conclusion : √2 est un nombre irrationnel
