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Sagot :
Bonjour MinifleurB
[tex]g(h)=2h+\dfrac{1}{2h}\\\\[/tex]
1) Montrer que g'(x) = [(2h-1)(2h+1)]/2h^2
[tex]g'(h)=2-\dfrac{2}{(2h)^2}[/tex]
[tex]g'(h)=2-\dfrac{2}{4h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=2-\dfrac{1}{2h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=\dfrac{4h^2}{2h^2}-\dfrac{1}{2h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=\dfrac{4h^2-1}{2h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=\dfrac{(2h)^2-1^2}{2h^2}[/tex]
[tex]\boxed{g'(h)=\dfrac{(2h-1)(2h+1)}{2h^2}}[/tex]
2) Etudier le signe de g' et dresser son tableau de variation.
Selon les données de l'énoncé, nous savons que h > 0.
D'où 2h + 1 > 0 et 2h² > 0.
On en déduit que le signe de la dérivée est le même que celui de 2h-1.
Or 2h-1 ≥ 0 <==> 2h ≥1 <==> h ≥ 1/2
2h-1 ≤ 0 <==> 2h ≤1 <==> h ≤ 1/2
Par conséquent,
si 0 ≤ h ≤ 1/2, alors g'(h) ≤ 0 ==> g est décroissante sur ]0 ; 1/2]
si h ≥ 1/2, alors g'(h) ≥ 0 ==> g est croissante sur [1/2 ; +oo[
[tex]g(h)=2h+\dfrac{1}{2h}\\\\[/tex]
1) Montrer que g'(x) = [(2h-1)(2h+1)]/2h^2
[tex]g'(h)=2-\dfrac{2}{(2h)^2}[/tex]
[tex]g'(h)=2-\dfrac{2}{4h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=2-\dfrac{1}{2h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=\dfrac{4h^2}{2h^2}-\dfrac{1}{2h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=\dfrac{4h^2-1}{2h^2}[/tex]
[tex]g'(h)=\dfrac{(2h)^2-1^2}{2h^2}[/tex]
[tex]\boxed{g'(h)=\dfrac{(2h-1)(2h+1)}{2h^2}}[/tex]
2) Etudier le signe de g' et dresser son tableau de variation.
Selon les données de l'énoncé, nous savons que h > 0.
D'où 2h + 1 > 0 et 2h² > 0.
On en déduit que le signe de la dérivée est le même que celui de 2h-1.
Or 2h-1 ≥ 0 <==> 2h ≥1 <==> h ≥ 1/2
2h-1 ≤ 0 <==> 2h ≤1 <==> h ≤ 1/2
Par conséquent,
si 0 ≤ h ≤ 1/2, alors g'(h) ≤ 0 ==> g est décroissante sur ]0 ; 1/2]
si h ≥ 1/2, alors g'(h) ≥ 0 ==> g est croissante sur [1/2 ; +oo[
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