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Sagot :
Bonjour Boujir
[tex]\left\{\begin{matrix}x^3+y^3=35\\x^2+y^2=13 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}(x+y)(x^2-xy+y^2)=35\\x^2+y^2=13 \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}(x+y)(13-xy)=35\\x^2+y^2=13 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}(x+y)(13-xy)=35\\(x+y)^2-2xy=13 \end{matrix}\right.\\\\\\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}(x+y)(13-xy)=35\\2xy=(x+y)^2-13 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}(x+y)(13-xy)=35\\xy=\dfrac{(x+y)^2-13}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
Soit S =
x + y et P = xy
[tex]\left\{\begin{matrix}S(13-P)=35\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}S[13-\dfrac{S^2-13}{2}]=35\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.\ \ \left\{\begin{matrix}S[\dfrac{26-S^2+13}{2}]=35\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}S[\dfrac{39-S^2}{2}]=35\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}S(39-S^2)=70\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}-S^3+39S-70=0\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}S^3-39S+70=0\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}(S-5)(S-2)(S+7)=0\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.\\\\\\\ \ \ \left\{\begin{matrix}S=5\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.\ \ ou\ \ \left\{\begin{matrix}S=2\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.\ \ ou\ \ \left\{\begin{matrix}S=-7\\\\P=\dfrac{S^2-13}{2} \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}S=5\\\\P=6\end{matrix}\right.\ \ ou\ \ \left\{\begin{matrix}S=2\\\\P=4,5 \end{matrix}\right.\ \ ou\ \ \left\{\begin{matrix}S=-7\\\\P=18\end{matrix}\right.[/tex]
Les
nombres x et y tels que la somme S=5 et le produit P=6 sont solutions de
l'équation X²-5X+6=0.
Ces
nombres sont 2 et 3.
Par
conséquent,
x=2 et
y=3 sont solutions du système proposé.
x=3 et
y=2 sont solutions du système proposé.
Les nombres x et y tels que la somme S=2 et le produit P=4,5
sont solutions de l'équation X²-2X+4,5=0.
Ces nombres sont [tex]1-\sqrt{5,5}\ \ et\ \ 1+\sqrt{5,5}[/tex]
Par conséquent,
[tex]x=1-\sqrt{5,5}\ \ et\ \ y=1+\sqrt{5,5}[/tex] sont solutions du système proposé.
[tex]x=1+\sqrt{5,5}\ \ et\ \ y=1-\sqrt{5,5}[/tex] sont solutions du système proposé.
Les nombres x et y tels que la somme S=-7 et le produit P=18 sont solutions de l'équation X²+7X+18=0.
Cette équation n'admet pas de solution réelle car son discriminant est négatif. (Δ = -23 < 0)
D'où, les solutions du système sont :
x=2 et y=3
x=3 et y=2
[tex]x=1-\sqrt{5,5}\ \ et\ \ y=1+\sqrt{5,5}[/tex]
[tex]x=1+\sqrt{5,5}\ \ et\ \ y=1-\sqrt{5,5}[/tex]
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