👤

FRstudy.me: votre destination pour des réponses précises et fiables. Posez vos questions et obtenez des réponses détaillées et précises de notre communauté d'experts dévoués.

Bonjour j'ai besoin d'aide s'il vous plait

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB=5cm et AC=10cm M est un point du coté AB on note BM=x (en cm ) N est le point du coté BC tel que le triangle BMN est rectangle en M Ou placer le point M pour que l'aire du triangle BMN soit superieur ou egale au quart de l'aire du triangle ABC ?


Sagot :

Bonjour,

Exprimons le problème en inéquation :
     Aire(BMN) ≥  Aire(ABC) / 4    (1)

L'aire d'un triangle rectangle vaut : A = b.h / 2

Donc, on a :   Aire(ABC) = 5.10 / 2 = 25 cm²   (2)

Et,   Aire(BMN) = x.|MN| / 2     (3)

Nous pouvons affirmer que les triangles ABC et MBN sont semblables.
En effet :
     - B est un angle commun 
     - les angles A et M ont la même amplitude de 90° par hypothèse
Il s'agit du cas de similitude Angle-Angle

Nous pouvons donc écrire la relation de proportionnalité des côtés homologues :
     |AB| / |MB| = 
|AC| / |MN| = |BC| / |BN| = k

En prenant l'égalité suivante :
     
|AB| / |MB| = |AC| / |MN|
Il vient :
     
|AB| . |MN| = |AC| . |MB|   (le produit des moyens est égal
                                                                 au produit des extrêmes)
et donc,  |MN| = 
|AC| . |MB| / |AB|   (en divisant les 2 membres par |AB|) 
               |MN| = 10 . x / 5
               |MN| = 2x                  (4)

En remplaçant (4) dans (3), il vient :   Aire(BMN) = x . 2x / 2
                                                            Aire(BMN) = x²             (5)

En remplaçant (2) et (5) dans (1), il vient :
                                 x² ≥ 25/4
Et donc,          x² - 25/4 
≥ 0    (en soustrayant 25/4 aux 2 membres)
Finalement,
          (x - 5/2).(x + 5/2) 
≥ 0    (en factorisant le 1er membre)

Etude du signe du 1er membre de l'inéquation :
                     x            -5/2          5/2
          x² - 25/4      +      0      -      0      +

Donc, les solutions de l'inéquation sont = x € ]-infini;-5/2] U [5/2;+infini[

Or, x représente la longueur du côté d'un triangle donc, x doit être positif. Finalement, l'aire 
du triangle BMN est supérieur ou égale au quart de l'aire du triangle ABC si ≥ 5/2.