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Sagot :
Bonjour Anfouwahoumadi
[tex]f(x)=\sqrt{x}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
La tangente à une courbe est parallèle à une droite donnée si son coefficient directeur est égal à celui de la droite.
Or le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée de f en ce point.
1. Existe-t-il un point de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d'équation :
a) y = x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à 1.
Donc
[tex]f'(x)=1\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=1\\\\2\sqrt{x}=1\\\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{4}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = x au point de coordonnées [tex](\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2})[/tex]
b) y = 100 x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à 100.
Donc
[tex]f'(x)=100\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=100\\\\2\sqrt{x}=\dfrac{1}{100}\\\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{200}\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{40\ 000}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = 100x au point de coordonnées [tex](\dfrac{1}{40\ 000};\dfrac{1}{200})[/tex]
c) y = 1/100 x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à 1/100.
Donc
[tex]f'(x)=\dfrac{1}{100}\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{100}\\\\2\sqrt{x}=100\\\\\sqrt{x}=50\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{250\ 000}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = 1/100 x au point de coordonnées [tex](\dfrac{1}{250\ 000};\dfrac{1}{50})[/tex].
2. De façon générale, lambda désigne un nombre réel strictement positif.
Existe-t-il un point de C où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = lambda x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à [tex]\lambda[/tex]
Donc
[tex]f'(x)=\lambda\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\lambda\\\\2\sqrt{x}=\dfrac{1}{\lambda}\\\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\lambda}\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{4\lambda^2}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = 100x au point de coordonnées[tex](\dfrac{1}{4\lambda^2};\dfrac{1}{2\lambda})[/tex]
[tex]f(x)=\sqrt{x}\Longrightarrow f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}[/tex]
La tangente à une courbe est parallèle à une droite donnée si son coefficient directeur est égal à celui de la droite.
Or le coefficient directeur de la tangente est donné par la dérivée de f en ce point.
1. Existe-t-il un point de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d'équation :
a) y = x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à 1.
Donc
[tex]f'(x)=1\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=1\\\\2\sqrt{x}=1\\\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{2}\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{4}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = x au point de coordonnées [tex](\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2})[/tex]
b) y = 100 x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à 100.
Donc
[tex]f'(x)=100\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=100\\\\2\sqrt{x}=\dfrac{1}{100}\\\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{200}\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{40\ 000}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = 100x au point de coordonnées [tex](\dfrac{1}{40\ 000};\dfrac{1}{200})[/tex]
c) y = 1/100 x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à 1/100.
Donc
[tex]f'(x)=\dfrac{1}{100}\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\dfrac{1}{100}\\\\2\sqrt{x}=100\\\\\sqrt{x}=50\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{250\ 000}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = 1/100 x au point de coordonnées [tex](\dfrac{1}{250\ 000};\dfrac{1}{50})[/tex].
2. De façon générale, lambda désigne un nombre réel strictement positif.
Existe-t-il un point de C où la tangente est parallèle à la droite d'équation y = lambda x ?
Le coefficient directeur de la droite est égal à [tex]\lambda[/tex]
Donc
[tex]f'(x)=\lambda\\\\\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=\lambda\\\\2\sqrt{x}=\dfrac{1}{\lambda}\\\\\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\lambda}\\\\\boxed{x=\dfrac{1}{4\lambda^2}}[/tex]
Par conséquent,
la tangente à la courbe est parallèle à la droite d'équation y = 100x au point de coordonnées[tex](\dfrac{1}{4\lambda^2};\dfrac{1}{2\lambda})[/tex]
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