Bonjour Nasserb673
Soit la fonction f définie par f(x)=E(x)-(x-E(x))²
1) La fonction identique x → x est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex].
La fonction E : x → E(x) est continue sur [tex]\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}[/tex].
Par conséquent,
la fonction f est continue sur [tex]\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}[/tex] (par les opérations sur les fonctions continues).
2) Montrons que f est continue sur [tex]\mathbb{Z}[/tex].
Soit [tex]x\in\mathbb{Z}[/tex]
Alors f(x) = x.
Or
[tex]\lim\limits_{y\to x^+}f(y)=\lim\limits_{y\to x^+}[E(y)+(y-E(y))^2]\\\\\lim\limits_{y\to x^+}f(y)=\lim\limits_{y\to x^+}E(y)+\lim\limits_{y\to x^+}(y-E(y))^2\\\\\lim\limits_{y\to x^+}f(y)=\lim\limits_{y\to x^+}E(y)+(\lim\limits_{y\to x^+}y-\lim\limits_{y\to x^+}E(y))^2\\\\\lim\limits_{y\to x^+}f(y)=x+(x-x)^2\\\\\lim\limits_{y\to x^+}f(y)=x+0\\\\\lim\limits_{y\to x^+}f(y)=x\\\\\boxed{\lim\limits_{y\to x^+}f(y)=f(x)}[/tex]
et
[tex]\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=\lim\limits_{y\to x^-}[E(y)+(y-E(y))^2]\\\\\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=\lim\limits_{y\to x^-}E(y)+\lim\limits_{y\to x^-}(y-E(y))^2\\\\\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=\lim\limits_{y\to x^-}E(y)+(\lim\limits_{y\to x^-}y-\lim\limits_{y\to x^-}E(y))^2\\\\\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=x-1+[x-(x-1)]^2\\\\\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=x-1+(x-x+1)^2\\\\\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=x-1+1^2\\\\\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=x-1+1\\\\\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=x\\\\\boxed{\lim\limits_{y\to x^-}f(y)=f(x)}[/tex]
D'où si [tex]x\in\mathbb{Z}[/tex]
alors [tex]\boxed{\lim\limits_{y\to x}f(y)=f(x)}[/tex]
On en déduit que f est continue sur [tex]\mathbb{Z}[/tex].
3) Puisque f est continue sur [tex]\mathbb{R}\setminus\mathbb{Z}[/tex] et que f est continue sur [tex]\mathbb{Z}[/tex],
nous en déduisons que f est continue sur [tex]\mathbb{R}[/tex]
